Расчет электрических цепей несинусоидального тока

Расчет электрических цепей, содержащих источники энергии [источники ЭДС e (t)и источники тока j (t)] с несинусоидальной формой кривой, выполня­ется по методу положения. Процедуру расчета можно условно разделить на три этапа.

1)Гармонический анализ.

На этом этапе выполняется разложение несинусоидальных функций ис­точников ЭДС e (t)и источников тока j (t)в гармонический ряд Фурье:

Для проведения анализа структуры функций e (t) и j (t)количество гармо­ник в их раз­ложении определяютзначительно боль­ше, чем необходимо для расчета схемы.

2)Аналитический расчет.

Производится аналитический расчет схемы последовательно для каждой гармоники в отдельности. Для постоянной составляющей расчет производится как для резистивной цепи постоянного тока, при этом участки с катушками L закорачиваются, а ветви с конден­сато­рами C размыкается. Расчет схемы для от­дель­ных гармоник производится как для цепи си­нусои­дального тока, т.е. в ком­плексной форме, при этом определяются не действующие зна­чения, а ком­плексные амплитуды токов и напряжений (). Расчет для каждой гармо­ники выпол­няется по одному и тому же алгоритму, при этом учитывается зави­симость реактивных со­противлений элементов от частоты и, следовательно, от номера гармо­ники: . Выбор расчет­ного метода определяется структурой расчетной схемы.

Количество гармоник, для которых выполняется расчет схемы, устанав­ливается ис­ходя из конкретных условий задачи. Например, если определяются только действующие значения токов и напряжений (I, U), то достаточно учи­тывать только те гармоники, для ко­торых коэффициент , при этом от­но­сительная погрешность расчета в итоге не пре­высит 1%. Од­нако в тех слу­чаях, когда требуется проводить исследование форм кривых функций u (t) и i (t), то необходимо учи­тывать также гармоники более высокого порядка с меньшим коэффициентом гармоник .

3.Синтез решения.

На заключительной стадии расчета определяются искомые величины со­гласно усло­вию задачи.

Мгновенные значения токов и напряжений i (t)и u (t) определяются в соответствии с принципом наложения как алгебраической суммы мгновенных значений отдельных состав­ляющих, например:

При необходимости исследования формы кривых функций i (t) и u (t) по полученным уравнениям строится их графические диаграммы.

Действующие значения токов и напряжений (I, U) находятся как средне­квадратич­ные значения этих функций по полученным ранее формулам, напри­мер:

Активные мощности отдельных элементов определяется как суммы ак­тивных мощ­ностей этих элементов для отдельных гармоник, например:

Активную мощность отдельных приемников можно определять также по формуле Джоуля: , где -действующее значение тока этого при­емника.

Определяются коэффициенты исследуемых несинусоидальных функций: k_u - коэф­фициент искажения, k_ф -коэффициент формы k_г -коэффициенты от­дельных гармоник и т. д.

Пример. На входе схемы (рис. 123а) с заданными параметрами элемен­тов (R ₁=30 Ом, R ₂=20 Ом, L =100 мГн, С =22 мкФ) действует источник несину­сои­дальной ЭДС (рис. 123б) с час­тотой f =50 Гц. Требуется определить 1) дейст­вую­щие значения ЭДС Е и токов I, I ₁, I ₂; 2) ко­эффициенты искажения функций ЭДС e (t)и токов i (t), i ₁(t), i ₂(t); 3) баланс активных мощно­стей .

1-ый этап. Разложение заданной графически функции ЭДС е (t) (рис. 123б) в гармониче­ский ряд Фурье производится с помощью ЭВМ по программе GAR, в результате получим:

Примечание: гармоники, кратные трем, в разложении данной функции отсутст­вуют.

2-ой этап. Производится расчет схемы для каждой гармоники в отдельно­сти в ком­плексной форме по од­ному и тому же алгоритму:

; ; , где k - номер гармоники.

Результаты расчета сведены в общую таблицу. Расчет останавливаем на 5-ой гармо­нике, так как амплитуды более высоких гармоник в функции e (t) не­значительны и их учет уже не повлияет на конечные результаты расчета.

k	E km	I km	I 1 km	I 2 km
	157,9 ej 0	3,081 e-j 30,4	3,634 e-j 46,3	1,080 ej 82,1
	39,5 ej 180	0,385 ej 180	0,576 ej 115,5	0,526 e-j 105,4
	9,9 ej 0	0,190 ej 45,2	0,077 e-j 76,54	0,240 ej 61,1
	6,3 ej 180	0,154 e-j 135,1	0,039 ej 100,8	0,179 e-j 124,6

3-ый этап. Определяются интегральные параметры искомых функций. Действующие значения функций:

В; I =2,20 A; I ₁=2,60 A; I ₃=0,88 A.

Коэффициенты искажения формы кривых для функций e (t), i (t), i ₁(t), i ₂(t):

; ; .

Активная мощность источника энергии:

Вт.

Активная мощность приемников энергии:

Вт; Вт.

Баланс мощностей:

Анализ результатов решения и выводы:

1. Для определения действующих значений величин и активных мощно­стей можно было бы пренебречь 4-ой и 5-ой гармониками, однако для опреде­ления коэффициентов ис­кажения формы кривых учет названных гармоник не­обходим.

2. Величина и характер входного сопротивления схемы зависит от номера гармо­ники: для 1-ой гармоники () – входное сопротивление носит активно-индук­тивный ха­рактер; для 2-ой гармоники ()– входное сопро­тивление носит чисто активный характер, т.е. на частоте 2-ой гармоники имеет место резонанс токов; для 4-ой гармоники ()– входное сопротивле­ние носит активно-емкостный характер.

3. Форма кривой функции тока i ₁(t)в ветви с катушкой искажена меньше, чем форма кривой источника ЭДС e(t) (), а форма кривой тока i ₂(t)в ветви с конден­сато­ром, наоборот, искажена больше (). Такие соотношения между коэффициен­тами ис­кажения форм кривых объясняются за­висимостью реактивных сопротивлений от час­тоты: .

8. Измерение действующих значений несинусоидальных токов и на­пряжений

Для измерения действующих значений токов и напряжений в цепях пере­менного си­нусоидального тока применяются различные приборы, отличаю­щиеся по принципу их дей­ствия или системой. Независимо от устройства шкалы всех приборов для измерения дейст­вующих значений токов и напряже­ний проградуированы в действующих значениях измеряе­мых величин.

Приборы непосредственного измерения (к таким относятся приборы элек­тромагнит­ной и электродинамической систем) реагирует на действующее зна­чение измерянной вели­чины (I, U) и, следовательно, для их шкал коэффициент пересчета равен единице (к_n =1).

Приборы косвенного измерения могут реагировать на среднее (I_ср, U_ср) или на мак­си­мальное (I_max, U_max) значение измеряемой величины, но их показа­ния пересчитываются к действующим значениям синусоидальных функций.

Для приборов, реагирующих на среднее значение, коэффициент пере­счета равен:

Для приборов, реагирующих на максимальное значение, коэффициент пе­ресчета ра­вен:

Действующее значение несинусоидальной функции зависит только от ам­плитуд от­дельных гармоник, в то же время ее максимальное и среднее значения зависят как от ампли­туд гармоник, так и от их фазовых сдвигов. Из этого сле­дует вывод, что показания приборов косвенного измерения, реагирующих на максимальное или среднее значение, в цепях несину­соидального тока не будут соответствовать действующим значениям измеряемых величин.

Рассмотрим два примера. Пусть измеряемое напряжение содержит 1-ю и 3-ю гармо­ники, но с разными фазовыми сдвигами между ними:

a), (рис. 124а),

б) , (рис. 124б).

Действующие (U), максимальные (U_max) и средние (U_ср) значения этих напряжений, рассчитанные математически по соответствующим формулам, а также показания приборов различных систем (V ₁ – непосредственного измере­ния, V ₂ - косвенного измерения с реакцией на максимальное значение U_max и V ₃ - косвенного измерения с реакцией на среднее значение U_ср) приведены ниже в таблице.

Схема	U, B	Umax, B	U cp,B	V 1	V 2	V 3
а)	71,1		65,8	71,1	63.6	73,0
б)	71,1		61,6	71,1	77,8	68,4

Как видно из приведенных в таблице цифр, показания приборов косвен­ного измерения существенно зависят от фазового сдвига между гармониками, при этом методическая по­грешность измерения может составлять значительную величину (в рассматриваемом примере около 10 %).