Поверхностный эффект в круглом проводе

Электромагнитное поле в проводящей среде в общем случае описывается системой уравнений Максвелла в комплексной форме:

Если оси координат выбрать так, как показано на рис. 34, т.е. ось z совместить с осью провода и положительным направлением тока, то вектор напряженности электрического полябудет направлен по оси z (согласно закону Ома ), а вектор напряженности магнитного поля будет направлен нормально к радиусу по правилу правоходового винта.

В цилиндрической системе координат те же уравнения примут вид:

Совместное решение этой системы уравнений относительно комплексных переменных и дает следующий результат:

где ,

Уравнение для переменной представляет собой уравнение Бесселя нулевого порядка при n = 0, а уравнение для переменной – уравнение Бесселя первого порядка при n = 1. Решения этих уравнений известны из математики. Окончательные решения для векторов поля получают вид:

где – функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядка от комплексного аргумента qr и сами являются комплексными числами.

Общий вид функции Бесселя n –го порядка выражается бесконечным рядом

Значения функций Бесселя приводятся в математических справочниках в виде таблиц или диаграмм.

Анализ решения для вектора напряженности электрического поля и соответственно для вектора плотности тока показывает, что переменный ток по сечению цилиндрического провода распределяется неравномерно: его плотность d возрастает по направлению от центра к поверхности примерно по экспоненциальному закону. Эта неравномерность выражена тем больше, чем больше число k и радиус провода r ₀ (рис. 35).

Явление возрастания плотности тока от центра к поверхности провода получило название поверхностного эффекта. Поверхностный эффект возрастает с ростом частоты f, магнитной проницаемости m, удельной проводимости g. В технике сильных токов (на частоте 50 Гц) это явление сказывается незначительно в медных и алюминиевых проводах большого сечения, и в сильной степени - в стальных (m>> 1) проводах любого сечения.

На расстоянии D = 1/k от поверхности провода плотность тока убывает в ² е ² раз, это расстояние называют глубиной проникновения поля:

Как известно, сопротивление проводника постоянному току или омическое сопротивление определяется по формуле:

[Ом/м].

Внутреннее комплексное сопротивление того же проводника переменному току с учетом поверхностного эффекта может быть выражено через параметры поля:

Практический интерес представляет отношение активного сопротивления провода к омическому R / R ₀, количественно характеризующее поверхностный эффект в проводе. Расчеты показывают, что на промышленной частоте 50 Гц увеличение активного сопротивления R / R ₀ незначительно для медных и алюминиевых проводов (m = 1) и существенно для стальных проводов (m>> 1). С ростом частоты f вследствие усиления поверхностного эффекта происходит увеличение активного сопротивления провода (R / R ₀ > 1).