Т4. Переменное электромагнитное поле

1. Основные уравнения Максвелла и их физический смысл

Основы теории электромагнитного поля или электродинамики были впер­вые изло­жены в 1873 г. английским ученым Максвеллом в труде «Трактат об электричестве и магне­тизме». Математические уравнения, описывающие физи­ческие процессы в переменном электромагнитном поле, называются уравне­ниями Максвелла. Наиболее важные из них пер­вые четыре, которые называ­ются основными:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

Рассмотрим более детально каждое из уравнений Максвелла и вытекаю­щие из них следствия.

Физический смысл 1-го основного уравнения: переменное магнитное поле () возбуждается как токами проводимости (), так и токами смеще­ния (). Максвелл назвал плотностью тока смещения изменение во времени век­тора электрического смещения :

Ток проводимости () и ток смещения () эквиваленты в отношении создания маг­нитного поля, но представляют собой различные физические явле­ния. Если ток проводимо­сти соответствует движению свободных зарядов, то ток смещения может существовать в пус­тоте, где заряды отсутствуют вообще.

Так как , то

Таким образом, плотность тока смещения в диэлектрике складывается из плотности тока смещения в пустоте () и члена (), учитывающего поля­ризацию диэлектрика (пе­ремещение связанных зарядов).

1-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму обобщенного закона полного тока. Для доказательства этого положения проин­тегрируем обе части уравне­ния по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: , , следовательно:

- закон полного тока в интегральной форме.

Для стационарного поля и , тогда первое уравнение Мак­свелла превращается в уравнения магнитного поля постоянного тока:

, .

Из последнего равенства вытекают уравнения 2-го закона Кирхгофа для магнитной цепи:

.

Возьмем операцию div от левой и правой части основного уравнения (1):

Из математики известно, что div rot = 0 тождественно, тогда получим:

- уравнение непрерывности линий вектора плотности тока , ко­торое гласит, что линии вектора непрерывны, концами линий плотности тока проводимо­сти являются начала линий плотности тока сме­щения и наоборот.

Проинтегрируем обе части последнего уравнения по некоторому замкну­тому объему V. В левой части по теореме Остроградского получим:

,

а в правой части:

,

следовательно: – закон сохранения заряда в интегральной форме.

Полученное уравнение показывает, что в переменном электромагнитном поле токи и заряды связаны и не могут задаваться независимо друг от друга.

Физический смысл 2-го основного уравнения: переменное электрическое поле () возбуждается не только зарядами q, но и изменением во времени магнитного поля ().

2-е уравнение Максвелла представляет собой дифференциальную форму закона элек­тромагнитной индукции. Для доказательства этого положения про­интегрируем обе части уравнения по некоторой неподвижной поверхности S, опирающейся на контур l:

.

Левая часть уравнения преобразуется по теореме Стокса: , а в правой части равенства получим: следова­тельно:

В электрических машинах переменного тока (генераторах, двигателях, трансформато­рах) магнитное поле изменяется во времени по синусоидальному закону В обмотках машин это поле наводит синусоидальную ЭДС:

.

Действующее значение этой ЭДС равно:

- уравнение трансформаторной ЭДС.

Для стационарного поля , и 2-е уравнение Максвелла превраща­ется в уравне­ния электростатического поля:

Из совместного анализа 1-го и 2-го уравнений Максвелла следует вывод, переменное электрическое и переменное магнитное поля должны рассматри­ваться как два связанных проявления единого электромагнитного процесса. Ка­ждое из этих полей и их изменения во времени и пространстве являются од­но­временно и причиной и следствием друг друга. Сово­купность этих двух по­лей называется электромагнитным полем.

3-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий магнит­ного поля. Оно гласит, что линии вектора магнитной индукции непрерывны, т.е. замкнуты сами на себя. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объ­ему V, ограниченному поверхностью S:

есть 1-й закон Кирхгофа для магнитной цепи.

4-е уравнение Максвелла устанавливает истоки линий элек­трического поля. Оно гласит, что линии вектора электростатической индукции имеют разрыв, они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отри­цательных. Проинтегрируем это уравнение по некоторому объему V, ог­раничен­ному поверхностью S:

или

есть уравнение теоремы Гаусса в интегральной форме.