Основные операции над высказываниями

Логическим связкам соответствуют логические операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность.

Логические значения результатов этих операций связаны с логическими значениями исходных высказываний. Соответствие между высказываниями определяется таблицей истинности.

1. Отрицание. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно. Обозначается Р или . Операции соответствует логическая связка «не». Таблица истинности имеет вид

P	Р
И	Л
Л	И

2. Конъюнкция. Конъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P&Q или РÙQ. Операции соответствует логическая связка «и». Таблица истинности имеет вид

3. Дизъюнкция. Дизъюнкцией двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.Обозначается PÚQ. Операции соответствует логическая связка «или». Таблица истинности имеет вид

4. Импликация. Импликацией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно. Обозначается PÉQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием. Операции соответствует логическая связка «если…,то». Таблица истинности имеет вид

P	Q	PQ
И	И	И
И	Л	Л
Л	И	И
Л	Л	И

5. Эквиваленция. Эквиваленцией двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают. Обозначается Р~Q, или РQ, или . Операции соответствует логическая связка «тогда и только тогда». Таблица истинности имеет вид

С импликацией связано постоянное упоминание математиками «необходимое условие» и «достаточное условие». В табл. 1. приведены разные виды импликаций, их запись, определение и прочтение.

Таблица 1

Вид импликации	Обозначение	Определение	Прочтение
Импликация		P является достаточным условием для Q	Если имеет место P, то Q также будет иметь место
Конверсия импликации		P является необходимым условием для Q	Если имеет место Q, то P также будет иметь место
Двойная импликация (эквивалентность)		Р является необходимым и достаточным условием для Q	Р имеет место, если и только если имеет место Q

Наряду с основными операциями, могут использоваться дополнительные, полученные из основных через операцию «отрицание»: штрих Шеффера, стрелка Пирса, сумма по модулю два.

6. Штрих Шеффера. Штрихом Шеффера высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания. Обозначается P|Q. По определению, P|Q = – антиконъюнкция высказываний P и Q. Таблица истинности имеет вид

7. Стрелка Пирса. Стрелкой Пирса высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания. Обозначается . По определению, – антидизъюнкция высказываний P и Q. Таблица истинности имеет вид

P	Q	P Q
И	И	Л
И	Л	Л
Л	И	Л
Л	Л	И

8. Сумма по модулю два. Суммой по модулю два двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно одно из высказываний. Обозначается . По определению, – антиэквивалентность высказываний P и Q.

P	Q	P Q
И	И	Л
И	Л	И
Л	И	И
Л	Л	Л

Пример. Определить значение истинности высказывания К, если высказывание ложно.

Решение.

Конъюнкция высказываний есть ложное высказывание в случае, когда по меньшей мере одно из входящих в конъюнкцию составляющих высказываний (членов конъюнкции) ложно. В нашем случае второе составляющее высказывание «» истинно, а конъюнкция двух высказываний ложна. Поэтому К ложно.

Пример. Сформулировать и записать в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности предложения «» (a,b – действительные числа).

Решение.

Дробь равна нулю лишь в том случае, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, т.е. .