В худшем случае, если не будет применяться оптимизирующий алгоритм, потребуется перебор и сравнение всех возможных фрагментов изображения разного размера. Даже для небольших изображений при учете дискретности мы получим астрономическое число перебираемых вариантов. Причем, даже резкое сужение классов преобразований, например, за счет масштабирования только в определенное количество раз, не дает заметного выигрыша во времени. Кроме того, при этом теряется качество изображения. Подавляющее большинство исследований в области фрактальной компрессии сейчас направлены на уменьшение времени архивации, необходимого для получения качественного изображения.
Далее приводятся основные определения и теоремы, на которых базируется фрактальная компрессия. Этот материал более детально и с доказательствами рассматривается в [3] и в [4].
Определение. Преобразование  , представимое в виде
где a, b, c, d, e, f действительные числа и  называется двумерным аффинным преобразованием.
Определение. Преобразование  , представимое в виде
где a, b, c, d, e, f, p, q, r, s, t, u действительные числа и  называется трехмерным аффинным преобразованием.
Определение. Пусть  — преобразование в пространстве Х. Точка  такая, что  называется неподвижной точкой (аттрактором) преобразования.
Определение. Преобразование в метрическом пространстве (Х, d) называется сжимающим, если существует число s:  , такое, что
Замечание: Формально мы можем использовать любое сжимающее отображение при фрактальной компрессии, но реально используются лишь трехмерные аффинные преобразования с достаточно сильными ограничениями на коэффициенты.
Теорема. (О сжимающем преобразовании)
Пусть в полном метрическом пространстве (Х, d). Тогда существует в точности одна неподвижная точка  этого преобразования, и для любой точки  последовательность  сходится к  .
Более общая формулировка этой теоремы гарантирует нам сходимость.
Определение.Изображением называется функция S, определенная на единичном квадрате и принимающая значения от 0 до 1 или 
Пусть трехмерное аффинное преобразование  , записано в виде
и определено на компактном подмножестве  декартова квадрата [0..1]x[0..1]. Тогда оно переведет часть поверхности S в область  , расположенную со сдвигом (e,f) и поворотом, заданным матрицей
 .
При этом, если интерпретировать значение S как яркость соответствующих точек, она уменьшится в p раз (преобразование обязано быть сжимающим) и изменится на сдвиг q.
Определение. Конечная совокупность W сжимающих трехмерных аффинных преобразований  , определенных на областях , таких, что  и  , называется системой итерируемых функций ( IFS).
Системе итерируемых функций однозначно сопоставляется неподвижная точка — изображение. Таким образом, процесс компрессии заключается в поиске коэффициентов системы, а процесс декомпрессии — в проведении итераций системы до стабилизации полученного изображения (неподвижной точки IFS). На практике бывает достаточно 7-16 итераций. Области в дальнейшем будут именоваться ранговыми, а области — доменными.
Построение алгоритма
Как уже стало очевидным из изложенного выше, основной задачей при компрессии фрактальным алгоритмом является нахождение соответствующих аффинных преобразований. В самом общем случае мы можем переводить любые по размеру и форме области изображения, однако в этом случае получается астрономическое число перебираемых вариантов разных фрагментов, которое невозможно обработать на текущий момент даже на суперкомпьютере.
В учебном варианте алгоритма, изложенном далее, сделаны следующие ограничения на области:
- Все области являются квадратами со сторонами, параллельными сторонам изображения. Это ограничение достаточно жесткое. Фактически мы собираемся аппроксимировать все многообразие геометрических фигур лишь квадратами.
- При переводе доменной области в ранговую уменьшение размеров производится ровно в два раза. Это существенно упрощает как компрессор, так и декомпрессор, т.к. задача масштабирования небольших областей является нетривиальной.
- Все доменные блоки — квадраты и имеют фиксированный размер. Изображение равномерной сеткой разбивается на набор доменных блоков.
- Доменные области берутся “через точку” и по Х, и по Y, что сразу уменьшает перебор в 4 раза.
- При переводе доменной области в ранговую поворот куба возможен только на 00, 900, 1800 или 2700. Также допускается зеркальное отражение. Общее число возможных преобразований (считая пустое) — 8.
- Масштабирование (сжатие) по вертикали (яркости) осуществляется в фиксированное число раз — в 0,75.
Эти ограничения позволяют:
- Построить алгоритм, для которого требуется сравнительно малое число операций даже на достаточно больших изображениях.
- Очень компактно представить данные для записи в файл. Нам требуется на каждое аффинное преобразование в IFS:
- два числа для того, чтобы задать смещение доменного блока. Если мы ограничим входные изображения размером 512х512, то достаточно будет по 8 бит на каждое число.
- три бита для того, чтобы задать преобразование симметрии при переводе доменного блока в ранговый.
- 7-9 бит для того, чтобы задать сдвиг по яркости при переводе.
Информацию о размере блоков можно хранить в заголовке файла. Таким образом, мы затратили менее 4 байт на одно аффинное преобразование. В зависимости от того, каков размер блока, можно высчитать, сколько блоков будет в изображении. Таким образом, мы можем получить оценку степени компрессии.
Например, для файла в градациях серого 256 цветов 512х512 пикселов при размере блока 8 пикселов аффинных преобразований будет 4096 (512/8x512/8). На каждое потребуется 3.5 байта. Следовательно, если исходный файл занимал 262144 (512х512) байт (без учета заголовка), то файл с коэффициентами будет занимать 14336 байт. Коэффициент архивации — 18 раз. При этом мы не учитываем, что файл с коэффициентами тоже может обладать избыточностью и архивироваться методом архивации без потерь, например LZW.
Отрицательные стороны предложенных ограничений:
- Поскольку все области являются квадратами, невозможно воспользоваться подобием объектов, по форме далеких от квадратов (которые встречаются в реальных изображениях достаточно часто.)
- Аналогично мы не сможем воспользоваться подобием объектов в изображении, коэффициент подобия между которыми сильно отличается от 2.
- Алгоритм не сможет воспользоваться подобием объектов в изображении, угол между которыми не кратен 900.
Такова плата за скорость компрессиии за простоту упаковки коэффициентов в файл.
Характеристики фрактального алгоритма:
Коэффициенты компрессии: 2-2000 (Задается пользователем).
Класс изображений: Полноцветные 24 битные изображения или изображения в градациях серого без резких переходов цветов (фотографии). Желательно, чтобы области большей значимости (для восприятия) были более контрастными и резкими, а области меньшей значимости — неконтрастными и размытыми.
Симметричность: 100-100000
Характерные особенности: Может свободно масштабировать изображение при разархивации, увеличивая его в 2-4 раза без появления “лестничного эффекта”. При увеличении степени компрессии появляется “блочный” эффект на границах блоков в изображении.
|
2014-02-09
398
Расставляя линзы и меняя их характеристики, мы можем управлять получаемым изображением. Одна итерация работы Машины заключается в том, что по исходному изображению с помощью проектирования строится новое, после чего новое берется в качестве исходного. Утверждается, что в процессе итераций мы получим изображение, которое перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз, и не будет зависеть от исходной картинки. Это изображение называется “ неподвижной точкой ” или аттрактором данной IFS. Соответствующая теория гарантирует наличие ровно одной неподвижной точки для каждой IFS.
Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самоподобию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении. Таким образом, интуитивно понятно, что система итерируемых функций задает фрактал (нестрого — самоподобный математический объект).
Наиболее известны два изображения, полученных с помощью IFS: “треугольник Серпинского” и “папоротник Барнсли”. “Треугольник Серпинского” задается тремя, а “папоротник Барнсли” четырьмя аффинными преобразованиями (или, в нашей терминологии, “линзами”). Каждое преобразование кодируется буквально считанными байтами, в то время как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.
=>
-- 
), обычно пренебрегают (сразу получая выигрыш примерно на треть размера файла — 1- 1/4 - 1/16 - 1/64...).
К достоинствам этого алгоритма можно отнести то, что он очень легко позволяет реализовать возможность постепенного “прояв–ления” изображения при передаче изображения по сети. Кроме того, поскольку в начале изображения мы фактически храним его уменьшенную копию, упрощается показ “огрубленного” изображения по заголовку.
В отличие от JPEG и фрактального алгоритма данный метод не оперирует блоками, например, 8х8 пикселов. Точнее, мы оперируем блоками 2х2, 4х4, 8х8 и т.д. Однако за счет того, что коэффициенты для этих блоков мы сохраняем независимо, мы можем достаточно легко избежать дробления изображения на “мозаичные” квадраты.
Характеристики волнового алгоритма:
Коэффициенты компрессии: 2-200 (Задается пользователем).
Класс изображений:Как у фрактального и JPEG.
Симметричность: ~1.5
Характерные особенности: Кроме того, при высокой степени сжатия изображение распадается на отдельные блоки.
