Оптимизационные модели

1.1. Общая формулировка оптимизационной модели. Оптимизационные модели представляют систему математических уравнений, линейных или нелинейных, подчиненных определенной целевой функции и служащих для отыскания наилучших (оптимальных) решений конкретной экономической задачи. Эти модели относятся к классу экстремальных задач и описывают условия функционирования экономической системы.

Оптимизационные модели могут носить детерминированный или стохастический характер. В детерминированных моделях результат решения однозначно зависит от входных данных. Стохастические модели описывают случайные процессы, в которых результат всегда остается неопределенным.

Наиболее разработаны и практически более применимы детерминированные модели, использующие аппарат математического программирования.

Структура оптимизационной модели состоит из целевой функции, принимающей значения в пределах ограниченной условиями задачи области, и из ограничений, характеризующих эти условия.

В общем виде оптимизационную математическую модель можно представить в следующем виде:

Найти план , который max (min) целевую функцию

(1.1)

при выполнении ограничений

(1.2)

где и - известные функции, - заданные постоянные величины.

Вид целевой функции , вид ограничений и специальные ограничения на переменные (например, требования целочисленности переменных) определяют выбор метода математического программирования для решения оптимизационной задачи:

· линейного программирования;

· нелинейного программирования;

· динамического программирования;

· целочисленного программирования и т. д.

Мы остановимся на оптимизационных моделях, которые решаются методами линейного программирования, т. е. рассмотрим оптимизационные модели (1.1) - (1.2) у которых целевая функция и ограничения - линейные функции. Тогда оптимизационная математическая модель примет вид:

Найти план , который max (min) целевую функцию

(1.3)

при выполнении системы ограничений

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

Множество планов , удовлетворяющих системе ограничений (1.4) – (1.7), называется множеством допустимых решений и обозначается . Допустимый план , доставляющий целевой функции (1.3) экстремальное значение, называется оптимальным.

Отметим, что максимизация целевой функции в области допустимых решений эквивалентна задаче минимизации функции «» в той же области: .

Если все ограничения задачи заданы в виде равенств и на все переменные , наложено условие неотрицательности , то оптимизационная модель имеет каноническую форму записи:

max

при ограничениях

.

Если ограничения заданы в виде неравенств, то оптимизационная модель имеет симметрическую форму записи:

max

при ограничениях

,

или

min

при ограничениях

.

Для аналитического решения линейной оптимизационной модели, в случае необходимости, ее ограничения следует преобразовать к каноническому виду, для чего переходят от ограничений неравенств к равенствам, введением дополнительных переменных , которые прибавляют к левым частям ограничений неравенств. В целевую функцию дополнительные переменные вводятся с коэффициентами равными нулю.