Пример 4. б) Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями

а) Функция монотонна.

б) Дизъюнкция и конъюнкция любого числа переменных являются монотонными функциями.

в) Рассмотрим две функции от трёх переменных, заданных следующей таблицей.

Функция , очевидно, не является монотонной, так как, например , а . Монотонность функции легко установить непосредственной проверкой.

Проверка монотонности функции непосредственно по определению требует анализа таблицы функции и может оказаться достаточно трудоёмкой. Поэтому весьма полезной для установления монотонности является следующая теорема.

Теорема 3. Всякая булева формула, не содержащая отрицаний, представляет собой монотонную функцию отличную от константы; наоборот, для любой монотонной функции, отличной от 0 и 1, найдётся представляющая её булева формула без отрицаний.

Из данной теоремы и того очевидного факта, что подстановка нескольких формул без отрицаний в формулу без отрицаний снова даёт формулу без отрицаний, вытекает следующая теорема.

Теорема 4. Множество всех монотонных функций является замкнутым классом.

Но поскольку всякая булева формула без отрицаний является суперпозицией дизъюнкций и конъюнкций, из данной теоремы непосредственно получаем следствие.

Следствие. Класс монотонных функций является замыканием системы функций .