Квантовые операции

Для предикатов кроме логических операций применимы кванторные операции: всеобщности и существования.

Пусть - предикат, определенный на множестве . Тогда - означает «для всякого (любого) истинно ». Символ называется квантором всеобщности.

Переменную в предикатеназывают свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании переменную называют связанной квантором всеобщности.

Пусть - предикат, определенный на множестве . Тогда - означает «существует , для которого истинно ». Символ называется квантором существования.

ПРИМЕР

Пусть на множестве натуральных чисел задан предикат -«число кратно 3». Используя кванторы, из данного предиката можно получить высказывания:

- «все натуральные числа кратны 3»;

- «существуют натуральные числа, кратные 3».

Очевидно, что первое из данных высказываний ложно, а второе – истинно.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть на множестве задан двухместный предикат . К данному предикату могут применяться кванторные операции как по одной, так и по двум переменным.

ПРИМЕР

Пусть предикат означает делится на без остатка., причем обе переменные определены на множестве натуральных чисел. Тогда применение кванторных операций приводит к следующим высказываниям:

1. - «для любого и для любого справедливо, что делится на без остатка.

2. - «для любого существует , который является делителем без остатка.

Нетрудно заметить, что первое высказывание является ложным, а второе – истинным.

Для многоместных предикатов, связанных по одной переменной справедливы следующие формулы:

,

где

,

где