2014-02-09
645
В математике понятие отношения используется для обозначения какой-либо связи между объектами. Отношение есть некоторое множество упорядоченных пар 
, где 
, а 
.
v Отношение называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении сам с собой (
).
v Отношение называется симметричным, если оно обладает свойством коммутативности (
).
v Отношение называется транзитивным, если 
v Отношение называется антисимметричным, если 
Часто приходится рассматривать несколько элементов множества как эквивалентные, потому что по определенным признакам один элемент может быть заменен другим. Так, например, по признаку величины дроби 
и 
эквивалентны. Отношение эквивалентности рефлексивно, симметрично и транзитивно. Понятие эквивалентности подразумевает выполнение следующих условий:
Ö каждый элемент эквивалентен самому себе;
Ö высказывание, что два элемента являются эквивалентными, не требует уточнения, какой из элементов рассматривается первым;
Ö два элемента, эквивалентные первому, эквивалентны между собой.
|
|
|
Пусть 
– множество, в котором определено отношение эквивалентности. Подмножество элементов, эквивалентных элементу 
, называется классом эквивалентности: все элементы этого класса эквивалентны между собой и всякий элемент из находится в одном и только в одном классе (если элементов, эквивалентных , не существует, то может быть и единственным элементом класса). Отношение эквивалентности в определяет на разбиение на классы эквивалентности, т.е. становится объединением непересекающихся классов.
Особенности природы элементов множества в большинстве случаев позволяют установить между ними отношения полного (или совершенного) порядка. Это отношение по определению обладает следующими свойствами:
Если между элементами множества определено также и отношение эквивалентности, то между элементами устанавливается отношение неполного или нестрогого порядка:
Возможны случаи, когда некоторые элементы множества не сравнимы. Такие множества называются частично упорядоченными.
