2014-02-09
890
Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в точке взаимно перпендикулярных осей, первая из которых называется осью абсцисс 
, вторая – осью ординат 
, третья – осью аппликат 
; точка 
‑ начало координат (рис. 4.4).
Рис 4.4.
Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов 
, направленных соответственно по осям 
. Векторы называются основными или базисными ортами и определяют базис 
в трехмерном пространстве.
Пусть в пространстве дана точка 
. Проектируя ее на ось 
, получим точку 
. Первой координатой 
или абсциссой точки 
называется длина вектора 
, взятая со знаком плюс, если 
направлен в ту же сторону, что и вектор 
, и со знаком минус ‑ если в противоположную. Аналогично проектируя точку на оси 
и 
, определим ее ординату 
и аппликату 
. Тройка чисел 
взаимно однозначно соответствует точке .
Система координат называется правой, если вращение от оси 
к оси в ближайшую сторону видно с положительного направления оси совершающимися против часовой стрелки, и левой, если вращение от оси к оси в ближайшую сторону видно совершающимися по часовой стрелке.
Вектор 
, направленный из начала координат в точку 
называется радиус-вектором точки , т.е.
| (4.3) |
Если даны координаты точек 
и 
, то координаты вектора 
получаются вычитанием из координат его конца 
координат начала 
:
или 
.
Следовательно, по формуле (5):
 или
| (4.4) |
При сложении (вычитании) векторов их координаты складываются (вычитаются), при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Длина вектора 
равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
 .
| (4.5) |
Длина вектора 
, заданного координатами своих концов, т.е. расстояние между точками и вычисляется по формуле
 .
| (4.6) |
Если 
и 
коллинеарны, то они отличаются друг от друга скалярным множителем. Следовательно, у коллинеарных векторов координаты пропорциональны:
 .
| (4.7) |
Пусть точка 
делит отрезок между точками 
и 
в отношении 
, тогда радиус-вектор точки выражается через радиусы-векторы 
и 
его концов по формуле: 
.
Отсюда получаются координатные формулы:
.
В частности, если точка делит отрезок 
пополам, то 
и 
, т.е. 
.
