2014-02-09
386
Рассмотрим уравнение
| (7.9) |
где среди коэффициентов 
есть отличные от нуля, т.е. (7.9) – уравнение второй степени относительно 
и 
.
Возьмем на плоскости две прямоугольные системы координат: 
, которую будем называть старой, и новую, полученную из поворотом ее вокруг начала координат на угол 
, 
.
Старые координаты 
выражаются через новые координаты 
по формулам:
| (7.10) |
Подставив выражения для и в уравнение (8), получим
| (7.11) |
Это уравнение в системе координат задает ту же линию, что и уравнение (7. 9) в системе .
Если в уравнении (7.9) 
, то за счет выбора угла в (7.10) можно добиться того, что 
. Для этого угол надо взять таким, чтобы 
. Поэтому будем считать , тогда уравнение (7.11) примет вид:
| (7.12) |
Преобразуя это уравнение и применяя параллельный перенос координатных осей, придем к уравнению
| (7.13) |
В зависимости от знаков коэффициентов уравнения (7.13) рассмотрим следующие случаи:
I 
, тогда уравнение (7.13) примет вид 
, где 
. это уравнение эллипса.
II 
, то обозначив 
имеем 
. Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка с координатами . Следовательно, это уравнение задает пустое множество.
III 
. Обозначая приведем уравнение (12) к виду 
.
Это уравнение гиперболы.
Случаи 
, 
, 
новых результатов не дают.
IV 
. Тогда уравнение (7.13) можно привести к виду 
. Это уравнение задает пару прямых 
, пересекающихся в начале координат.
Рассматривая далее методично все случаи, придем к выводу: уравнение вида (7.9) задает одну из следующих фигур: эллипс, гиперболу, параболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, прямую, точку или пустое множество.
