Теорема. Ненулевые векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда найдется такое ненулевое число , что

Доказательство:

Необходимость

1. .

2. . Для этого случая аналогично доказывается, что , при.

Достаточность

Число имеет только два значения: . Это означает, что или , соответственно. Таким образом, вектора и коллинеарны.

Размерность и базис векторного пространства

Определение. Вектор называется линейной комбинацией векторов векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

(8.1)

где – какие угодно действительные числа.

Определение. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют, такие числа , не равные одновременно нулю, что

(8.2)

В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство справедливо лишь при , и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Можно показать, что если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выража­ется через остальные. Верно и обратное утверждение о том, что если один из векторов выражается линейно через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Из приведенных выше определений следует, что векторы линейно независимы, если равенство (8.2) справедливо лишь при , и линейно зависимы, если это равенство выполняется, когда хотя бы одно из чисел отлично от нуля.

Примером линейно независимых векторов являются два неколлинеарных, т.е. не параллельных одной прямой, вектора и на плоскости. Действительно, условие (8.2) будет выполняться лишь в случае, когда , ибо если,

например, , то и векторы и коллинеарны. Однако любые три вектора плоскости линейно зависимы.

Отметим некоторые свойства векторов линейного простран­ства.

1. Если среди векторов имеется нулевой вектор, то
   эти векторы линейно зависимы.
2. Если часть векторов являются линейно зависи­
   мыми, то и все эти векторы — линейно зависимые.

Определение. Линейное пространство называется -мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые из векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства — это максимальное число содержа­щихся в нем линейно независимых векторов. Число называется размерностью пространства и обозначается .

Определение. Совокупность линейно независимых векторов -мерного пространства называется базисом.

Справедлива следующая теорема.

Теорема. Каждый вектор линейного пространства можно представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса :

Это равенство называется разложением вектора по базису , а числа — координатами вектора отно­сительно этого базиса. В силу единственности разложения каждый вектор однозначно может быть определен координатами в некотором базисе.

Очевидно, что нулевой вектор имеет все нулевые координаты, а вектор, противоположный данному, – противоположные по знаку координаты.

Теорема. Если – система линейно независимых век­торов пространства и любой вектор линейно выражается через , то пространство является -мерным пространством , а векторы – его базисом.

Базисом векторного пространства называется любая независимая система линейно независимых –векторов этого пространства, количество которых равно , т.е. выбор системы базисных векторов векторного пространства неоднозначен, и может быть осуществлен большим числом способов.

Нередко приходится встречаться с заменой переменных, при которой старые переменные линейно выражаются через новые, например, при переходе от одного базиса пространства к другому. Такую замену переменных называют обычно их линейным преобразованием.

Линейным преобразованием переменных называется выражение системы переменных через новую систему переменных с помощью линейных однородных функций

Линейное преобразование вполне определяется таблицей размером , составленной из коэффициентов при . Такая таблица, составленная из элементов называется матрицей , а само преобразование представляет собой пример матричной операции. Понятие матрицы требует более детального рассмотрения, что и будет сделано в следующем разделе.