Достижимость и контрдостижимость

Задач, в которых используется понятие достижимости, довольно много. Вот одна из них. Граф может быть моделью какой-то организации, в которой люди представлены вершинами, а дуги интерпретируют каналы связи. При рассмотрении такой модели можно поставить вопрос, может ли информация от одного лица х_i быть передана другому лицу х_j, т. е. существует ли путь, идущий от вершины х_i к вершине х_j. Если такой путь существует, то говорят, что вершина х_j достижима из вершины х_i. Можно интересоваться достижимостью вершины х_j из вершины х_i только на таких путях, длины которых не превосходят заданной величины или длина которых меньше наибольшего числа вершин в графе и т. п. задачи.

Достижимость в графе описывается матрицей достижимости R=[r_ij], i, j=1, 2,... n, где n – число вершин графа, а каждый элемент определяется следующим образом:

r_ij=1, если вершина х_j достижима из х_i,

r_ij=0, в противном случае.

Множество вершин R(x_i)графа G, достижимых из заданной вершины x_i, состоит из таких элементов x_i, для которых (i, j)-й элемент в матрице достижимостей равен 1. Очевидно, что все диагональные элементы в матрице R равны 1, поскольку каждая вершина достижима из себя самой путeм длины 0. Поскольку прямое отображение 1-го порядка Г⁺¹(x_i) является множеством таких вершин x_j, которые достижимы из x_i с использованием путей длины 1, то множество Г⁺(Г⁺¹(x_i)) = Г⁺²(x_i) состоит из вершин, достижимых из x_i с использованием путей длины 2. Аналогично Г^+p(x_i)является множеством вершин, которые достижимы из x_i с помощью путей длины p.

Так как любая вершина графа, которая достижима из x_i, должна быть достижима с использованием пути (или путей) длины 0 или 1, или 2,..., или p, то множество вершин, достижимых для вершины x_i, можно представить в виде

R (x_i) = { x_i } Г⁺¹(x_i) Г⁺²(x_i)... Г^+p(x_i).

Как видим, множество достижимых вершин R(x_i)представляет собой прямое транзитивное замыкание вершины x_i, т. е. R (x_i) = T⁺(x_i). Следовательно, для построения матрицы достижимости находим достижимые множества R (x_i)для всех вершин x_i X. Полагая, r_ij=1, если x_j R (x_i)и r_ij=0 в противном случае.

Рис. 4.1. Достижимость в графе: а –граф; б – матрица смежности; в – матрица достижимости; г- матрица контрдостижимости.

Для графа, приведенного на рис. 4.1,а, множества достижимостей находятся следующим образом:

R (х₁) = { х₁ } { х₂, х₅ } { х₂, х₄, х₅ } { х₂, х₄, х₅ } = = { х₁, х₂, х₄, х₅ },

R (х₂) = { х₂ } { х₂, х₄ } { х₂, х₄, х₅ } { х₂, х₄, х₅ } = = { х₂, х₄, х₅ },

R (х₃) = { х₃ } { х₄ } { х₅ } { х₅ } = { х₃, х₄, х₅ },

R (х₄) = { х₄ } { х₅ } { х₅ } = { х₄, х₅ },

R (х₅) = { х₅ } { х₅ } = { х₅ },

R(х₆)= {х₆ } { х₃, х₇ } { х₄, х₆ } { х₃, х₅, х₇ } { х₄, х₅, х₆ } = { х₃, х₄, х₅, х₆, х₇},

R (х₇) = { х₇ } { х₄, х₆ } { х₃, х₅, х₇ } { х₄, х₅, х₆ } = = { х₃, х₄, х₅, х₆, х₇ }.

Матрица достижимости имеет вид, как показано на рис. 4.1,в. Матрицу достижимости можно построить по матрице смежности (рис. 4.1,б), формируя множества T⁺x_i)для каждой вершины x_i.

Матрица контрдостижимости Q = [ q_ij], i, j =1, 2,... n, где n – число вершин графа, определяется следующим образом:

q_ij=1, если из вершины x_j можно достичь вершину x_i,

q_ij=0, в противном случае.

Контрдостижимым множеством Q(x_i) является множество таких вершин, что из любой вершины этого множества можно достичь вершину x_i. Аналогично построению достижимого множества R (x_i)можно записать выражение для Q (x_i):

Q (x_i) = { x_i } Г^-1x_i) Г^-2x_i)... Г^-px_i).

Таким образом, видно, что Q (x_i) – это есть не что иное как обратное транзитивное замыкание вершины x_i, т. е. Q (x_i) = Т^-x_i). Из определений очевидно, что столбец x_i матрицы Q (в котором q_ij=1, если x_j Q (x_i), и q_ij=0 в противном случае) совпадает со строкой x_i матрицы R, т. е. Q = R^T, где R^T – матрица, транспонированная к матрице достижимости R.

Матрица контрдостижимости показана на рис. 4.1,г.

Следует отметить, что поскольку все элементы матриц R и Q равны 1 или 0, то каждую строку можно хранить в двоичной форме, экономя затраты памяти ЭВМ. Матрицы R и Q удобны для обработки на ЭВМ, так как с вычислительной точки зрения основными операциями являются быстродействующие логические операции.