Лекция №6. 6.1 Метод Квайка – Мак-Класски нахождения

6 7 8 9 10 11 12

6.1 Метод Квайка – Мак-Класски нахождения

сокращённой ДНФ двоичной функции.

Пусть функция f задана в виде СДНФ. Метод, предложенный Квайком в 1952 г. заключается в следующем:

применим к элементарным конъюнкциям СДНФ операцию «неполного склеивания»:

до тех пор, пока в результате применения этой операции не перестанут появляться новые конъюнкции;

2. в полученной ДНФ выполняем операции поглощения:

, пока это возможно.

Теорема 6.1.1: В результате выполнения пунктов 1, 2 получается сокращённая ДНФ функции f.

Доказательство: Сначала заметим, что из всякой импликанты функции f можно с помощью «операции расклеивания» получить дизъюнкцию импликант длины n.

Поскольку все импликанты длины n входят в СДНФ, то в результате применения операции неполного склеивания в СДНФ на первом этапе (пункт 1) метода будут получены все, в том числе и простые, импликанты функции f.

После применения второго этапа (пункт 2), очевидно, в ДНФ останутся только простые импликанты, т.е. полученная в результате ДНФ будет сокращенной.

Теорема доказана.

Мак-Класски в 1956 г. предложил удобную интерпретацию этого метода. Прежде всего заметим, что склеиваться могут только конъюнкции одинакового ранга, отличающиеся по одной переменной. Будем записывать конъюнкции в виде вектора ().

Индексом конъюнкции назовём .

Учитывая это замечание, разобьём все импликанты в СДНФ на группы в соответствии со значениями их индексов. Сам метод при этом заключается в заполнении таблицы специального вида.

Пример 6.1.2. Пусть f – функция, геометрическое представление которой дано на рисунке 5.2.1. Её СДНФ имеет вид:

Имеем

Индекс	СДНФ	Шаг 1	Шаг 2	Шаг 3
	1000*	1_00* 10_0*	1__0	______
	1100* 1010* 0101* 0011*	11_0* 1_10* 101_ 01_1 _011 0_11	______	______
	1110* 1011* 0111*	______	______	______

Таблица 6.1.3.

Применяя операцию неполного склеивания к импликантам длины n (СДНФ) производим заполнение колонки таблицы. При этом в СДНФ звёздочкой отмечаются использованные импликанты (они будут поглощаться на втором этапе). Затем операция склеивания применяется к конъюнкциям ранга (n-1) и т.д. Как только заполнение таблицы прекратилось, выбираются все не отмеченные звёздочкой импликанты и из них составляется сокращённая ДНФ. Для рассмотренного примера сокращённой ДНФ будет:

6.2 Метод нахождения тупиковых ДНФ.

Для изложения метода нахождения тупиковых ДНФ нам потребуется одно свойство ДНФ монотонных функций.

Утверждение 6.2.1: Минимальная ДНФ монотонной функции совпадает с её сокращённой ДНФ.

Доказательство: Сначала покажем, что все простые импликанты монотонной функции не содержат переменных с отрицаниями. Действительно, в противном случае наряду с простой импликантой функция имела бы импликанту (в силу её монотонности). Склеивая эти две импликанты, получаем противоречие с простотой импликанты .

Покажем теперь, что все простые импликанты входят в минимальную ДНФ. Пусть - простая импликанта. Тогда на наборе импликанта принимает значение 1. Все остальные импликанты должны быть равны на этом наборе нулю, так как в них обязательно должны входить переменные из множества . Следовательно, импликанта должна входить в минимальную ДНФ, поскольку иначе функция f на этом наборе будет равна 0.

Утверждение доказано.

Метод Петрика нахождения тупиковых ДНФ.

Рассмотрим таблицу, строки которой соответствуют простым импликантам функции f, а столбцы – конъюнкциям совершенной ДНФ (СДНФ). В каждую клетку записываем единицу, если соответствующая простая импликанта поглощает элементарную конъюнкцию и ноль – в противном случае. Такая таблица называется «импликантной таблицей».

Для функции из примера 6.1.2 она имеет вид:

СДНФ Сокр. ДНФ
P₁	1__0
P₂	101_
P₃	_001
P₄	0_11
P₅	01_1

Таблица 6.2.2

Согласно определению, каждая тупиковая ДНФ определяется таким набором строк, что в таблице, образованной этими строками в каждом столбце имеется одна единица, причём из этого набора нельзя удалить ни одной строки так, чтобы при этом ни один столбец не стал нулевым.

Пусть в общем случае в таблице имеется N столбцов и m строк. Поставим в соответствие простым импликантам сокращённой ДНФ переменные P₁… P_m. Фиксируем некоторую дизъюнкцию простых импликант. Будем считать, что P_i = 1, если i-ая простая импликанта

входит в эту дизъюнкцию и P_i = 0, в противном случае. Запишем в виде формалы условие того, что рассматриваемая дизъюнкция является ДНФ функции. Для этого необходимо, чтобы в каждом столбце таблицы была хотя бы одна единица, т.е.

(6.2.3) ,

где – элемент матрицы (таблицы), стоящий в i-ой строке и j-м столбце, .

Эту формулу можно трактовать как КНФ некоторой двоичной функции от переменных P₁… P_m, которая принимает значение 1 только на тех наборах переменных, которые соответствуют некоторым ДНФ исходной функции, и значение 0 – на наборах, которые соответствуют наборам импликант, не являющихся ДНФ исходной функции.

Заметим, что функция монотонна, так как формула 6.2.3 не содержит переменных с отрицаниями. Поэтому согласно утверждению 6.2.1 для нахождения её сокращённой ДНФ достаточно раскрыть скобки в формуле 6.2.3, а затем произвести все поглощения. Наконец, остаётся заметить, что в силу указанного выше свойства этой функции, её простые импликанты и только они будут давать тупиковые ДНФ исходной функции f.