Бесконечно большие последовательности

Эквивалентные последовательности.

Правила вычисления пределов последовательностей.

Бесконечно малые последовательности.

Определение 5. Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если

.

Пояснение. Из определения предела последовательности (определение 4) вытекает, что если {α_n} - бесконечно малая последовательность, то

,

и, следовательно, все члены последовательности с достаточно большими номерами сколь угодно малы по абсолютной величине.

Теорема. 3. (об арифметических операциях над бесконечно малыми последовательностями). Если последовательности {α_n} и {β_n} - бесконечно малые, а { x_n } - ограниченная последовательность, то последовательности

(1) {α_n + β_n},

(2) {α_n - β_n},

(3) {α_n x_n },

(4) {α_n β_n}

являются бесконечно малыми.

Доказательство. Позже.

Замечание. Самым главным в теореме 3 является свойство (3), выражающее связь бесконечно малой и ограниченной последовательности. В условиях теоремы не требуется существования предела у ограниченной последовательности.

Пример. Рассмотрим последовательность.

Ранее мы доказали, что.

Следовательно, - бесконечно малая последовательность.

.

Следовательно, - ограниченная последовательность,

таким образом, рассматриваемая последовательность - бесконечно малая.

.

Предел произведения существует, хотя предел множителя не

существует.

Теорема. 4. Для того чтобы последовательность {x_n} имела предел, равный A, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

x_n = A+ α_n (n=1, 2, …),

где {α_n} - бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Позже.

Определение 6. Если, то последовательность {x_n} называется постоянной.

Замечание. Постоянная последовательность является ограниченной, т.к.

Теорема. 5. (Правила вычисления пределов последовательностей). Если и, а { C } - постоянная последовательность, то нижеперечисленные пределы существуют и выполняются равенства

(1)	(2)
(3)	(4)
(5) при дополнительном условии.

Доказательство. Позже.

Замечание. Если пределы в правых частях равенств (3) - (5) не существуют, то пределы слева могут существовать. Не будет лишь самих равенств.

Пример. Если x_n = y_n = n, то справа в (3) и (5) пределы не существуют, а слева пределы их разности и частного. Ранее мы показывали, что, но предел второго сомножителя при этом не существует.

Определение 6. Если

,

то последовательности {x_n} и {y_n} называются эквивалентными.

Обозначение:

x_n ~ y_n.

Замечание. Если

x_n ~ y_n, то y_n ~ x_n,

то есть верно и

.

Действительно, по правилам (5) и (1) теоремы 5

.

Теорема. 6. Если x_n ~ x'_n , то y_n ~ y'_n и, то

и

.

Доказательство. Позже.

Определение 7. Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если

.

Пояснение. Выполнения условия для любого числа, в частности, для как угодно большого, означает, что значения сколь угодно велики для всех достаточно больших номеров n.

Пример. Рассмотрим последовательность

или 1, 2³, …, n³,….

очевидно с ростом n элементы последовательности растут и становятся сколь угодно большими при больших n., если. Положив, получим

.

Следовательно, последовательность - бесконечно большая.

Если последовательность бесконечно большая, то она неограничена, так как не существует число, такое, чтобы для всех n выполнялось условие.