Лемма о вложенных отрезках

Понятия инфимума и супремума множества

Определение 6. Множество называется ограниченным снизу (сверху), если существует такая постоянная (), что для выполняется: (). В этом случае () называется нижней (верхней) границей множества.

Пример. - сегмент. - нижняя граница, т.к. все элементы будут больше 0. Кроме того нижней границей также могут быть числа:,,. Вообще любое число, меньшее или равное 3, является нижней границей, множество - ограничено снизу. Любое число, которое больше или равно 9, будет верхней границей, потому - множество, ограниченное сверху.

Из рассмотренного примера понятно: если некоторое множество ограничено снизу (или сверху), оно имеет бесконечно много нижних (или верхних) границ.

Пример. Множество натуральных чисел ограничено снизу, потому что все натуральные числа больше, например, 0, то есть 0 - это одна из нижних границ, но - не ограниченно сверху.

Определение 7. Множество называется ограниченным, если оно ограничено снизу и сверху, то есть существует такая постоянная, что для выполняется:.

Таким образом, - ограниченное множество, а - неограниченное множество.

Определение 8. Число называется точной нижней границей, или инфимумом множества и обозначается, если выполняются следующие условия:

1. - нижняя граница;

2. Для уже не будет нижней границей для, то есть найдется такой элемент, что.

Таким образом, точная нижняя граница - это самая большая из всех нижних границ множества, она определяется однозначно. Так для предыдущих примеров, когда, то, а.

Определение 9. Число называется точной верхней границей, или супремумом множества и обозначается, если выполняются следующие условия:

1. - верхняя граница;

2. Для уже не будет верхней границей для, то есть найдется такой элемент, что.

Таким образом, точная верхняя граница - это наименьшая из всех верхних границ множества, она определяется однозначно. Для предыдущих примеров, когда, то, а не существует.

Если множество ограничено сверху (снизу), у него обязательно существует точная верхняя (нижняя) граница.

Аксиома полноты. Если, и для, выполняется неравенство

,

то существует такая постоянная, что для выполняется:.

Будем говорить, что отрезок вложен в отрезок, если (или иначе:). Обозначим.

Лемма ( о вложенных отрезках ). Любая последовательность вложенных отрезков имеет хотя бы одну общую точку. Если для существует отрезок такой, что его длина меньше, то такая точка единственная.

Замечание. Не любая последовательность вложенных интервалов или полуинтервалов имеет общую точку.

Пример. Пусть, где. Такая совокупность общей точки не имеет.