Свойства операций над множествами

Операции над множествами

Свойства подмножеств

1. Для любого множества оно является своим подмножеством. С использованием введенных кванторов это свойство может быть записано следующим образом:

2. если, то.

3. если, то. Это свойство является условием равенства двух множеств.

4. если, то.

5..

Необходимо различать отношения включения – отношение «быть подмножеством» (это отношения между множествами) и принадлежности (отношение между элементами и множеством). Перечисленные выше свойства не имеют места для отношения принадлежности. Например:. Отсюда не следует, что.

Любое непустое множество имеет всегда хотя бы 2 подмножества:. Если содержит элементов, то количество разных его подмножеств -.

Определение 4. Говорят, что между множествами и установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества соответствует один и только один элемент множества В, и каждому элементу множества В соответствует один элемент множества А.

Определение 5. Мощностью конечного множества называется количество его элементов. Мощность бесконечного множества равна бесконечности. Обозначение:.

Если между множествами и может быть установлено взаимно-однозначное соответствие, то множества имеют одинаковую мощность и называются равномощными:.

Пример. Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека, но не равномощно множеству пальцев на руках и ногах.

Пример. Множество четных натуральных чисел равномощно множеству всех натуральных чисел.

Объединение множеств – это множество

Определяется единственным образом.

Пересечение множеств – это множество

Для любых множеств имеем:

Два множества называются непересекающимися, если, и пересекающимися в противном случае.

Абсолютное дополнение (или просто дополнение) множества А – это

Относительное дополнение множества В до множества А (или разность А-В) – это

Симметрическая разность А и В:.

Свойства:

;

Теорема 1. Пусть - универсальное множество, т.е. множество, которое для конкретной рассматриваемой задачи включает все остальные множества как подмножества. Для имеют место равенства:

1. Идемпотентность:

;;

2. Коммутативность:

3. Ассоциативность:

4. Дистрибутивность:

5.,;

6.,.

Свойства множеств в теореме 1 записываются парами. Равенство теории множеств, которое получается из другого равенства заменой всех операций на, на, на, на, называется двойственным к исходному.

Принцип двойственности: Если в теории множеств можно показать справедливость какого-то утверждения, то двойственное утверждение также будет иметь место.

Из теоремы 1 вытекает, что объединение и пересечение множеств А,В,С можно записывать без скобок:,.

Методом математической индукции можно доказать, что объединение и пересечение любого числа множеств можно записывать без скобок, т.е.

, - общие ассоциативные законы.

Имеют место общие коммутативные и дистрибутивные законы:

, где - любая перестановка чисел;

Теорема 2. Пусть - универсальное множество. Для имеют место равенства ():

1. Если для всех А. Если для всех А.

2. Если и, то.

3.;

4.,;

5. Законы поглощения:

6. Законы де-Моргана: