Функции 2-х переменных

f(x_1,x₂)

x₂

x₁

Условия определяющие точку минимума – необходимо проанализировать поведение функции в некоторой точке.

х₂

х₂

Часто под окрестностью подразумевают шар.

Рассмотрим вспомогательное построение:

линейное векторное x₃

пространство

(х₁,х₂,х₃)

x₂

x₁

Скалярное произведение векторов , где - длина вектора (норма вектора), - угол между векторами.

S

Допустим, что: ,

Тогда: ;

Допустим, что имеется 2 вектора:

a

Чтобы задать направление, мы задаем вектор.

Нормируем вектор

Нормированный вектор имеет тоже самое направление, но , длина.

Допустим, что задан нормированный вектор .

отрицательный

Скалярное произведение равно 0, тогда года прямой.

Возвращаемся к функции 2-х переменных:

Отбрасываем члены , приращение будет более точным.

х2 х1

Вектор Þ - формула Тейлора.

х2 х1

Мы рассматриваем как изменяется точка вдоль данного направления. Функция становится функцией одной переменной. - скалярная величина.

- производная по направлению (вдоль данного направления)

- направление ряда равное направлению grad (£ 0).

grad – вектор, в сторону которого функция изменяется более быстро.

Антиградиент – grad направленный в другую сторону (-grad).

х2 grad f f(x) х2 -grad f х1 х1

Необходимое условие: - локальный минимум (или максимум). Точки локального экстремума.

Допустим что мы совершаем малое перемещение . В каком случае (в точке) будет: * больше, чем заданная: тогда, когда угол – острый Þ .

* - если под прямым углом, то не изменяется;

* - если под тупым углом, то приводит к уменьшению функции.

1.

строим поверхности

z

y