2014-02-09
389
f(x1,x2)
x2
x1
Условия определяющие точку минимума – необходимо проанализировать поведение функции в некоторой точке.
 |
х2
 |
х2
Часто под окрестностью подразумевают шар.
Рассмотрим вспомогательное построение:
линейное векторное x3
пространство
 |
(х1,х2,х3)
 |
x2
x1
Скалярное произведение векторов 
, где 
- длина вектора (норма вектора), 
- угол между векторами.
S
 |
Допустим, что: 
, 
Тогда: 
; 
Допустим, что имеется 2 вектора:
a
Чтобы задать направление, мы задаем вектор.
Нормируем вектор 
Нормированный вектор имеет тоже самое направление, но 
, длина.
Допустим, что задан нормированный вектор .
отрицательный |
Скалярное произведение равно 0, тогда года  прямой.
|
Возвращаемся к функции 2-х переменных:
Отбрасываем члены 
, приращение будет более точным.
 х2
 
    
   
х1
|
|
Вектор 
Þ 
- формула Тейлора.
|
|
|
х1 |
Мы рассматриваем как изменяется точка вдоль данного направления.
Функция становится функцией одной переменной.
 - скалярная величина.
|
х2 
- производная по направлению (вдоль данного направления)
- направление ряда равное направлению grad (£ 0).
grad – вектор, в сторону которого функция изменяется более быстро.
Антиградиент – grad направленный в другую сторону (-grad).
 х2
 grad f
 f(x)
    х2
-grad f
х1 х1 |
Необходимое условие:
 - локальный минимум (или максимум). Точки локального экстремума.
|
Допустим что мы совершаем малое перемещение . В каком случае (в точке) будет: * больше, чем заданная: тогда, когда угол – острый Þ 
.
* - если под прямым углом, то не изменяется;
* - если под тупым углом, то приводит к уменьшению функции.
1. 
строим поверхности
z
y
