2014-02-09
601
Численное решение:
точка min должна лежать на прямой.
g(x)
В каждый момент линия уровня будет касаться прямой эта точка и является точкой
условного локального min. Если в окрестности заданной точки, удовлетворяющей
всем значениям равенства, значение функции больше, чем в точке, то эта точка – есть точка условного локального min.
Пример:
(a,x)=0
Если (a1x)=b
Допустим, 
Прямая будет проходить через некоторую точку удовлетворяющую условию и 
Для n переменных 
, Ax=b
Рассмотрим i-ое ограничение:
, 
- задан 
x - все вектора, лежащие . Они и составляют гиперплоскость.
При добавлении еще одного условия, уменьшаются размерности. В конечном итоге получится пространство n-m.
Для двух переменных возможно 2 случая:
 1.
|  2.
|
В случае 2 это не точка минимума, а седловая точка.
Рассмотрим точку 3-х переменных:
 
плоскость
| Ограничение – плоскость, следовательно, все допустимые точки на плоскости. Если угол grad не равен 90 градусам следовательно можно двигаться дальше. На плоскости существует направление, которое будет составлять острый угол с – grad, и двигаясь в этом направлении можно уменьшить значение f. Если -grad f перпендикулярен плоскости эта точка может быть точкой минимума. |
Пусть существует 2 ограничения:
Рассмотрим опять случай 3-х переменных:
Точка минимума должна принадлежать пересечению плоскостей.
Необходимое условие – вектор антиградиента должен составлять угол 90 градусов с прямой пересечения плоскостей.
Для п -мерного случая имеется п переменных следовательно рассматривая каждое ограничение, получаем п-1 гиперплоскость следовательно рассмотрев т ограничений получим п-т гиперплоскость (т<п).
|
все ограничения
независимы
|
Если вектор grad (п -мерный) будет ортогонален п-т – пространству.
Допустим имеется п-1 пространство, п -мерный вектор может принадлежать ему или нет. Пусть вектор не принадлежит данному подпространству следовательно его можно разложить на 2 вектора – один который принадлежит подпространству, и второй который ортогонален данному. Ортогональное дополнение – вектора, которые ортогональны данному подпространству.
В 3D – пространстве, если подпространство равно 1 следовательно ортогональное дополнение равно 2.
В п-т -мерном подпространстве ортогональное дополнение имеет размерность т.
Необходимое условие: Если мы находим точку, где вектор градиента принадлежит ортогональному дополнению к пространству, заданному ограничениями – равенствами, то эта точка может быть точкой локального минимума.
Пусть есть 2 плоскости. Если записать систему ограничений равенств следующим образом:
где 
Т.о. вектора 
порождают ортогональное дополнение. Существующие могут быть выбраны в качестве базиса ортогонального дополнения следовательно градиент принадлежит ортогональному дополнению:
т.е. линейная комбинация базисных векторов.
 
|
|
- множители Лагранжа.
Рассмотрим матрицу 
, в ней 
- столбцы.
это условие может быть использовано для численного решения задачи оптимизации с ограничивающими уравнениями.
Пример: 
Если найдем такие вектора х и 
, для которых эти условия выполняются то точка может быть точкой локального минимума.
Рассмотрим случай когда система ограничений – равенств нелинейная:
|
|
Если функции дифференцируемы, то в окрестности точки минимума они будут вести себя как линейные.
|
 следовательно в окрестности точки локального минимума эта зависимость линейная следовательно получается система вида:
 , где 
|
следовательно необходимое условие локального минимума:
n-m
- множители Лагранжа.
- точка может быть искомой в задаче
- множители Лагранжа.
Обозначения для скалярного произведения 
;
;
Необходимое условие точки локального минимума исходное задание с ограничениями представляет собой необходимое условие точки локального экстремума для функции Лагранжа.
