Аппроксимация

Пусть задана область G переменных x = (x ₁, x ₂,…, x_p) с границей G и поставлена корректная задача решения уравнения с граничными условиями:

Au (x) - f (x) = 0, x Î G; (51)

Ru (x) - m (x) = 0, x Î G. (52)

Введем в области G + G сетку с шагом h, которая содержит регулярные (внутренние) узлы w_h и нерегулярные (граничные) узлы g_h.

Перейдем в (51), (52) к соответствующим разностным аналогам

A_hy_h (x) - j_h (x) = 0, x Î w_h; (51¢)

R_hy_h (x) - c_h (x) = 0, x Î g_h. (52¢)

Близость разностной схемы (51¢), (52¢) к исходной задаче (51), (52) определяется величинами невязок:

;

.

Разностная схема (51¢), (52¢) аппроксимирует задачу (51), (52), когда

,

аппроксимация имеет p -й порядок, когда

.

Дадим некоторые комментарии к выбору норм. Для простоты будем рассматривать одномерный случай, т.е. G = [ a, b ].

Можно использовать чебышевскую или локальную норму

,

или гильбертову, среднеквадратическую:

.

Часто строят ассоциированные или связанные с оператором A энергетические нормы. Например,

.

Выбор нормы регулируется двумя противоположными соображениями. С одной стороны, желательно, чтобы разностное решение y было близко к точному решению в наиболее сильной© норме. Например, в задачах на разрушение конструкций малость деформаций в не гарантирует целостность конструкций, а малость в норме — гарантирует. С другой стороны, чем слабее норма , тем легче разностную схему построить и доказать ее сходимость.

Функции y_h, j_h, c_h, входящие в (51¢), (52¢), определены на сетке, поэтому для них необходимо определить соответствующие сеточные нормы , и . Обычно их вводят так, чтобы они переходили в выбранные нормы , и при h ® 0. В качестве разностных аналогов чебышевской и гильбертовых норм выбирают выражения

или близкие аналоги.