Невязка

Рассмотрим операторное уравнение общего вида

Au = f или в иной форме Au - f = 0. (28)

Заменим оператор A разностным оператором A_h, правую часть f — некоторой сеточной функцией j_h, а точное решение u — разностным решением y, тогда можно записать разностное схему вида:

A_hy = j_h или в другой форме A_hy - j_h = 0. (29)

Если в (29) подставить точное решение u, то оно, вообще говоря, не будет удовлетворять уравнению, т.е. A_hu ¹ j_h. Величину

y = j_h - A_hu = (Au - f) - (A_hu - j_h) = (Au - A_hu) - (f - j_h).

принято называть невязкой. Для ее оценки обычно используют разложение в ряд Тейлора.

Найдем невязку для явной разностной схемы (26). Перепишем исходное уравнение теплопроводности (22) в форме (28)

.

Поскольку f = j_h = 0, постольку

(30)

где .

Разложим решение u по формуле Тейлора в окрестности узла (t_m, x_n), считая что по времени существует вторая непрерывная производная, а по пространству — четвертая непрерывная производная, тогда

(31)

где , , . Подставляя (31) в (30) и пренебрегая отличием величин , и от t_m и x_n, находим итоговую оценку невязки

. (32)

Согласно (32), невязка стремится к нулю при t ® 0 и h ® 0. Оценка (32) дает оценку невязки в регулярных узлах сетки. Согласно (23), (25), граничные условия выполняются точно, т.е. .

Оценку невязки (32) можно улучшить следующим образом. Найдем u_tt согласно следующей последовательности выкладок

. (33)

Подставляя (33) в (32), получим

. (34)

Согласно формуле (34) можно положить, что , тогда главный член невязки (34) обратиться в нуль и останутся члены более высокого порядка малости. Такой прием используется для получения разностных схем повышенного порядка точности.