Топологические матрицы графов

Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей.

Узловая матрица (А). Рассмотрим направленный граф электрической цепи. Составим и заполним таблицу согласно правилам: - если ветвь графа направлена от узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается +1; - если ветвь графа направлена к узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается −1; - если ветвь графа не связана с узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается 0.

Таблица

У з л ы В е т в и
           
  +1     +1   −1
  −1 +1     +1  
    −1 −1     +1
      +1 −1 −1  

Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:

А П = ,

которая и определяет схему электрической цепи.

Из матрицы А П следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, поэтому одна из ее строк является зависимой. В этом случае матрицу А П заменяют матрицей А путем вычеркивания любой строки из матрицы А П. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль. Тогда размер матрицы А равен . В нашем случае размер матрицы А будет: .

Составим соответствующую таблицу:

Контуры В е т в и
           
I +1     −1 +1  
II   +1 −1   −1  
III     +1 +1   +1

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных контуров (контурная матрица):

В = .

Размер контурной матрицы В: .

Таблица

Главное сечение В е т в и
           
I +1     +1   −1
II   +1 +1     −1
V     −1 +1 +1  

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных сечений:

Q = .

Размер матрицы главных сечений Q: .

Для заданного графа организуем контурную матрицу:

В = .

Матрица сопротивлений ветвей будет диагональной размером :

Z B = .

Далее находим произведение матрицы Z B и транспонированной (когда строки и столбцы меняются местами) контурной матрицы В Т:

Z B B T = =.

Матрицу контурных сопротивлений определит тройное матричное произведение:

Z K = B Z B B T = =

= .

Матрица проводимостей ветвей (Y B ) - эта матрица будет так же диагональной, но обратной относительно матрицы сопротивлений:

Y B = .

Матрицу узловых проводимостей определит тройное матричное произведение:

Y q = AG B A T

Матрицы источников ЭДС (Е) и токов (J) - это столбцовые матрицы, число строк в которых равно числу ветвей графа:

; .


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: