Топологические матрицы графов

Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу главных сечений, матрицы параметров ветвей.

Узловая матрица (А). Рассмотрим направленный граф электрической цепи. Составим и заполним таблицу согласно правилам: - если ветвь графа направлена от узла, то в клетку пересечения их нумераций вписывается +1; - если ветвь графа направлена к узлу, то в клетку пересечения их нумераций вписывается −1; - если ветвь графа не связана с узлом, то в клетку пересечения их нумераций вписывается 0.

Таблица

У з л ы	В е т в и
	+1			+1		−1
	−1	+1			+1
		−1	−1			+1
			+1	−1	−1

Согласно заполненной таблице запишем полную узловую матрицу:

А _П = ,

которая и определяет схему электрической цепи.

Из матрицы А _П следует, что сумма чисел в любом столбце равна нулю, поэтому одна из ее строк является зависимой. В этом случае матрицу А _П заменяют матрицей А путем вычеркивания любой строки из матрицы А _П. Узел, из которого исключается строка, принято называть базисным. У графа такой узел обозначается через ноль. Тогда размер матрицы А равен . В нашем случае размер матрицы А будет: .

Составим соответствующую таблицу:

Контуры	В е т в и
I	+1			−1	+1
II		+1	−1		−1
III			+1	+1		+1

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных контуров (контурная матрица):

В = .

Размер контурной матрицы В: .

Таблица

Главное сечение	В е т в и
I	+1			+1		−1
II		+1	+1			−1
V			−1	+1	+1

Согласно заполненной таблице запишем матрицу главных сечений:

Q = .

Размер матрицы главных сечений Q: .

Для заданного графа организуем контурную матрицу:

В = .

Матрица сопротивлений ветвей будет диагональной размером :

Z _B = .

Далее находим произведение матрицы Z _B и транспонированной (когда строки и столбцы меняются местами) контурной матрицы В ^Т:

Z _B B ^T = ∙=.

Матрицу контурных сопротивлений определит тройное матричное произведение:

Z _K = B Z _B B ^T = ∙=

= .

Матрица проводимостей ветвей (Y _B ) - эта матрица будет так же диагональной, но обратной относительно матрицы сопротивлений:

Y _B = .

Матрицу узловых проводимостей определит тройное матричное произведение:

Y _q = AG _B A ^T

Матрицы источников ЭДС (Е) и токов (J) - это столбцовые матрицы, число строк в которых равно числу ветвей графа:

; .