Статические погрешности измерения

Погрешности, возникающие при определении постоянного во времени измеренного значения, называются статическими, при этом предполагают, что измерительный прибор и измеряемая величина находятся в установившемся положении.

х_а

E_{a μ}

х

Е_с – систематическая погрешность; Е_а – отклонения.

Е_с = μ-х, где μ – среднее арифметическое (математическое ожидание), х – измеренное значение.

,

Случайная погрешность отдельного измерения.

Колебания случайной погрешности, кажущиеся беспорядочными в статическом смысле, подчиняются определенными законам.

Если показания измерительного прибора разбить на интервалы определенной ширины ∆х и вычислить относительную частоту показаний в отдельных интервалах при повторных измерениях, то можно получить гистограмму:

Распределение вероятности является предельным, так как, если смещать выборки с распределением, и снова обработать, то получим нормальный закон.

Параметры:

μ - математическое ожидание (выборка – оценка математическое ожидание, вся партия- истинное математическое ожидание μ);

σ – среднее квадратическое отклонение (имеет размерность, показывает расплывчатость закона, в статистике используется относительное значение σ).

При известном σ можно вычислить, что случайная погрешность Е_с (для отдельного измерения) будет меньше заданного граничного значения с. Эта вероятность называется доверительной вероятностью или статической надежностью.

На практике, обычно, значение доверительной вероятности принимают 95-99%.

При известном значении с, с помощью такого графика можно, на основании измерения, показать верхнюю и нижнюю границу математического ожидания.

Математическое ожидание с доверительной вероятностью Р (в процентах) лежит внутри этих границ. Интервал между этими границами называется доверительным интервалом математического ожидания.

Часто случайную погрешность, определяемую доверительной вероятностью, называют также недостоверностью измерения. Эта погрешность статистически описывает только отклонения от математического ожидания, а не правильность измерения.

μ и σ теоретически, принадлежат генеральной совокупности; в каждой реальной выборке – величины оценки параметров. σ² – дисперсия (второй момент плотности распределения вероятности).

В качестве оценки σ используется рассеяние:

(теряется 1 степень свободы), S² – состоятельная оценка. При n→∞, S→σ.

Случайная погрешность среднего значения.

Чтобы избежать недостоверности случайной погрешности единичного замера, можно усреднить несколько измерений. Но полученное среднее значение является только случайной величиной, так как n – является выборкой (конечным числом), среднее квадратическое отклонение у него меньше, чем у единичного измерения.

Между средним квадратическим отклонением среднего значения и средним квадратическим отклонением измерения имеется соотношение:

Усреднение позволяет уменьшить доверительную границу погрешности, при заданной доверительной вероятности пропорционально.

Систематическая погрешность градуировки.

Систематическая погрешность Е_с=μ-х, реально μ→, полученную при многократных измерениях.

Е_с≈х-.

В связи с тем, что систематическая погрешность является воспроизводимой, ее можно определить при поверке прибора и учесть при проведении измерений.

Градуировочная кривая с систематической погрешностью, зависящая от размера измеренного значения.

Так как точно может быть определено только среднее значение, а не математическое ожидание, то градуировочная кривая имеет смысл лишь в том случае, если результат случайной погрешности определяемого среднего значения при градуировке существенно меньше, чем систематическая погрешность. Поэтому градуировка по одиночному измерению без априорного значения случайной погрешности или доверительного интервала лишена смысла.

Если используемые при градуировке меры или приборы сравнения имеют значительные рассеяния, то результирующая погрешность должна определяться на основе законов распространенных погрешностей.