Распространение погрешности

Если результат измерения определяется на основе математической обработки отдельных измеренных значений, то погрешность вводится и в этот результат, поэтому говорят о распространении погрешности. Различным структурам систематических и случайных погрешностей соответствуют разные законы распространения погрешностей.

Систематические погрешности

Результат измерения y определяется по m различным измеренным значениям x_i. В статике эта связь описывается уравнением:

При малых отклонениях результирующее отклонение можно рассчитать, используя первые члены ряда Тейлора:

Если под малыми отклонениями понимать систематическую погрешность, то это уравнение можно переписать:

Следует отметить, что систематическая погрешность может иметь знак «+» или «−» вследствие чего возникает возможность ее компенсации. Особое значение, предъявленное к систематической погрешности, имеет частная производная. Эти весовые (влияющие) коэффициенты показывают, каким весом отдельные систематические погрешности участвуют в образовании систематической погрешности результата измерения.

Случайные погрешности

Случайная погрешность, рассматриваемая как единичное явление, по своей природе не может быть предсказано заранее, однако можно высказать суждение о ее статистических свойствах.

При нормальном распределении погрешности СКО является мерой, характеризующей плотность распределения погрешности, поэтому вопрос о распространении погрешности сводится к способу распространения статистической характеристики или доверительных границ.

Требуется определить СКО При известной функции (*), СКО для величин.

Если отдельные влияющие величины взаимно независимы и для величин выполняется условие, то можно определить:

Если вместе с СКО подставить их оценки рассеивания, то получим соотношение для определения рассеивания результата (не строгое):

Используя в качестве оценки можно определить доверительные границы погрешности при выбранной доверительной вероятности.

Для увеличения точности расчета результата измерения можно использовать среднее значение влияющих величин:

Если для усреднения каждой из m величин используется n значений, то СКО или рассеивание будет уменьшаться

Если рассеивание S(x_i) влияющих величин заранее не известно, то можно определить его одновременно с усреднением x_i, используя те же n значений.

В этом случае приведенное соотношение и график не могут быть использованы. Доверительные границы погрешности среднего значения результата измерения определяют по формуле:

Величину С определяют по графикам для выбранной доверительной вероятности P_o и числу степеней свободы

Предел погрешности.

Его применяют для задания максимального гарантированного значения погрешности. Этот предел содержит как оценочную систематическую, так и случайную погрешность. Пределы погрешности отдельно измеренных значений могут иметь положительные, отрицательные или неопределённые знаки. При неопределённых знаках, предел погрешности результата измерений определяется суммированием абсолютных значений пределов погрешности отдельных измеренных значений.

- погрешность

Если знаки пределов погрешности измеренных значений известны, то положительные и отрицательные пределы погрешности результата измерений вычисляются по отдельности.