2014-02-12
819
Уравнение Шредингера
Как известно, классическая механика родилась после формулирования уравнений динамики Ньютона, теория относительности приняла законченную форму после построения А.Эйнштейном общей теории относительности, описывающей динамику релятивистских частиц. Так и квантовая механика родилась после формулирования Шредингером в 1926 г. динамического уравнения для нерелятивистских квантовых частиц. Часто уравнение Шредингера называют пятым постулатом квантовой механики, но все-таки оно не было угадано, и для его формулировки существуют определенные физические основания.
Пусть известно значение волновой функции y(х, t) в момент времени t =0, т.е. y (х,0 )~. Так как волновая функция полностью характеризует поведение частицы, то она должна определять и ее поведение в любые другие моменты времени, т.е. из волновой функции y (х,0 ) должна однозначно определяться функция y (х, t). Рассмотрим функцию y (х,D t) в момент времени D t, бесконечно мало отличающийся от нуля. Тогда
Согласно сказанному, коэффициент при D t должен определяться из y (х,0):
|
|
|
, (4.1)
где 
– некоторый оператор, действующий на y (х,0). Оператор 
осуществляет смещение во времени и должен быть найден из основных квантовых положений. Для определения его явного вида рассмотрим волновую функцию свободно движущейся частицы с определенным импульсом 
. Для такого движения волновая функция совпадает с волной Де Бройля (1.7). Получим для нее явный вид оператора смещения во времени :
,
где введен оператор
,
являющийся результатом квантования функции Гамильтона
и для свободного движения частицы совпадающего с оператором кинетической энергии 
. В общем случае при наличии потенциального поля V гамильтониан
будет иметь вид:
. (4.2)
Таким образом, для свободного движения оператор смещения во времени имеет вид:
. (4.3)
В квантовой механике постулируется, что
оператор смещения во времени всегда (для любого движения) выражается через гамильтониан по формуле (4.3).
Тогда окончательно уравнение для волновой функции записывается следующим образом:
. (4.4)
Это уравнение называется уравнением Шредингера. В отсутствие переменных внешних полей гамильтониан 
не зависит от времени. В этом случае в уравнении Шредингера можно провести разделение переменных. Представим волновую функцию в виде 
, подставим ее в (4.4), разделим переменные и, обозначив постоянную разделения через Е, получим уравнения
