Явление самоиндукции. Эдс самоиндукции. Индуктивность

Электромагнитная индукция. Закон Фарадея. Правило ленца.

Сила действующая на проводник с током в магнитном поле.

Поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность. Силовые линии магнитного поля

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Сила Лоренца. Движение заряда в пост. Однородном магнитном поле.

25)Закон Ампера. Магнитное поле прямолинейного проводника с током.

Вычислим для бесконечного проводника с током интеграл по контуру, показанному

Рис.1

на Рис.1 (по круговому контуру который обходится по часовой стрелке). Поскольку и, а величину поля мы вычисляли раньше и получили:

(13)

Опираясь на эти выражения, интеграл по контуру легко вычисляется:

(14)

Этот пример является иллюстрацией частного случая общей теоремы, (не будем её доказывать) которая говорит, что:

«Интеграл по замкнутому контуру от вектора магнитной индукции равен произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов охватываемых контуром»

(15)

В последнем равенстве учтено, что ток равен интегралу от плотности тока по поверхности.

Для задач, обладающих симметрией, теорема о циркуляции вектора магнитной индукции играет ту же роль, что теорема Гаусса для вектора напряженности электрического поля. В качестве примера применения этой теоремы рассмотрим вопрос о нахождении индукции магнитного поля для проводника радиуса по которому течет ток с постоянной плотностью. Для кругового контура, проходящего внутри проводника, имеем:

` (16a)

поля вне проводника имеем

` (16b)

Чтобы записать теорему о циркуляции в дифференциальном виде воспользуемся теоремой Стокса:

(17)

где интеграл берется по поверхности опирающейся на контур, а операция вычисления ротора ставит в соответствие векторной функции (векторному полю) другую векторную функцию, вычисляемую по следующему правилу:

(18)

С использованием теоремы Стокса теорема о циркуляции магнитного поля (15) может быть переписана в виде:

(19)

Отсюда, в силу произвольности контура интегрирования эта теорема может быть переписана в дифференциальном виде:

(20)

Кстати, из равенства нулю циркуляции статического электрического поля следует, что его ротор равен нулю:

(21)

31) переходные процессы в цепях с индуктивностью.
Рассмотрим переходные процессы в RL-цепи на примере схемы, изображенной на рис. 4.1,а. Из рисунка видно, что переходные процессы в цепи будут возникать в моменты установки ключа К в положения 1 или 2.

RL-цепь (а) и переходные процессы в ней при подключении входного воздействия (б) и при отключеии входного воздействия(в).
Согласно второго закона Кирхгофа приложенное напряжение u(t) уравновешивается падениями напряжений на R и L, т.е.

u(t)=uR + uL = iR + Ldi/dt

Решение уравнения (4.1) можно записать в виде

i = iсв + iпр

где iсв – свободная составляющая тока, iпр – принужденная составляющая тока, обусловленная действием u(t).
iсвR + Ldiсв/dt = 0.
Выражение (4.3) является однородным дифференциальным уравнением, общее решение которого имеет вид

iсв = А℮pt, (4.4)

где А – постоянная интегрирования; р – корень характеристического уравнения, составленного из (4.3). R + pL = 0, откуда p = -R/L = -1/τ, тогда свободная составляющая тока (4.4) будет равна

iсв = А℮-t/τ,

где τ = L/R [с] –постоянная времени RL-цепи.
Принужденную составляющую iпр найдем полагая, что u(t) = U = const, тогда в установившемся режиме iпр = U/R. Учитывая последнее выражение и (4.5) перепишем (4.2) в форме

i = А℮-t/τ + U/R.

До подключения к цепи входного напряжения ток в цепи был равен нулю, тогда на основании первого закона коммутации (4.6) будет иметь вид

0 = A + U/R.

Отсюда находим постоянную интегрирования A = -U/R. Подставляя значение постоянной интегрирования в (4.6) находим закон изменения тока в RL-цепи при подключении к ней U = const

i = U/R(1 - ℮-t/τ).

Учитывая (4.7) находим закон изменения напряжения на индуктивности

uL = Ldi/dt = U ℮-t/τ.

Графики зависимости i(t) и uL(t) изображены на рис. 4.1,б. Из рисунков и выражений (4.7) и (4.8) следует, что в момент подключения к индуктивности источника постоянного напряжения ток в цепи равен нулю, а напряжение на индуктивности достигает максимального значенияuL = U, т.е. индуктивность эквивалентна разрыву цепи.

С увеличением времени ток в цепи увеличивается, а напряжение uL уменьшается по экспоненциальному закону. При t = ∞ ток в цепи достигает максимального значения, а uL = 0, т.е. индуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку цепи.

Из выражений (4.7) и (4.8) видно, что длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи τ. Чем больше постоянная времени цепи τ, тем медленнее затухает переходной процесс. При t = τ напряжение UL уменьшается в е раз. На практике принято считать, что переходной процесс заканчивается через время t = 3τ, т.к. при этом ток (4.7) достигает 95% от своего установившегося значения.
Переходной процесс в RL-цепи при ненулевых начальных условиях. Пусть к моменту коммутации ключ К на рис. 4.1,а находился в положении 1 и к RL-цепи было подключено напряжение u(t) = U = const. Следовательно в цепи была запасена энергия магнитного поля WL = LI2 = L(U/R)2. Установим ключ К в положение 2. При этом от цепи будет отключено входное воздействие и индуктивность L будет замкнута на резисторе R. В цепи возникает переходной процесс, описываемый уравнением

iR + Ldi/dt = 0. (4.12)

Принужденная составляющая тока iпр= 0. Решая уравнение (4.12) с учетом (4.3) - (4.5) находим

В момент коммутации при t = 0 ток в цепи был i = U/R, поэтому из (4.13) имеем A = U/R. Подставляя полученное значение А в (4.13) будем иметь следующее выражение, описывающее изменение тока в RL-цепи после отключения входного воздействия
Напряжение на индуктивности в переходном режиме изменяется по закону
Графики изменения тока и напряжения изображены на рис. 4.1,в.

Из рисунков и выражений (4.14) и (4.15) видно, что при отключении от индуктивности входного воздействия и замыкании ее на резистор ток и напряжение стремятся к нулю. Это означает, что вся запасенная в индуктивности энергия с течением времени расходуется на тепловые потери в резисторе. Длительность переходного процесса зависит от постоянной времени цепи и переходной процесс заканчивается через времяt ≈ 3τ.

32) Энергия магнитного поля. Плотность энергии магнитного поля.
Магни́тное по́ле — силовое поле, действующее на движущиеся электрические заряды и на тела, обладающие магнитным моментом, независимо от состояния их движения^[1], магнитная составляющая электромагнитного поля
Энергия W_м магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

W_м = LI²/ 2

При размыкании ключа K лампа ярко вспыхивает
Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла. Если обозначить через R полное сопротивление цепи, то за время Δ t выделится количество теплоты Δ Q = I ² R Δ t.

Ток в цепи равен
Выражение для Δ Q можно записать в виде Δ Q = – L I Δ I = –Φ (I) Δ I.
В этом выражении Δ I < 0; ток в цепи постепенно убывает от первоначального значения I ₀ до нуля. Полное количество теплоты, выделившейся в цепи, можно получить, выполнив операцию интегрирования в пределах от I ₀ до 0. Это дает

Таким образом, энергия W _м магнитного поля катушки с индуктивностью L, создаваемого током I, равна

Применим полученное выражение для энергии катушки к длинному соленоиду с магнитным сердечником. Используя приведенные выше формулы для коэффициента самоиндукции L _μ соленоида и для магнитного поля B, создаваемого током I, можно получить
где V – объем соленоида. Это выражение показывает, что магнитная энергия локализована не в витках катушки, по которым протекает ток, а рассредоточена по всему объему, в котором создано магнитное поле. Физическая величина
равная энергии магнитного поля в единице объема, называется объемной плотностью магнитной энергии. Дж. Максвелл показал, что выражение для объемной плотности магнитной энергии, выведенное здесь для случая длинного соленоида, справедливо для любых магнитных полей.

33) колебательный контур
Колебательный контур — осциллятор, представляющий собой электрическую цепь, содержащую соединённые катушку индуктивности и конденсатор. В такой цепи могут возбуждаться колебания тока (и напряжения)
Колебательный контур — простейшая система, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания
Пусть конденсатор ёмкостью C заряжен до напряжения. Энергия, запасённая в конденсаторе составляет
При соединении конденсатора с катушкой индуктивности, в цепи потечёт ток, что вызовет в катушке электродвижущую силу (ЭДС)самоиндукции, направленную на уменьшение тока в цепи. Ток, вызванный этой ЭДС (при отсутствии потерь в индуктивности) в начальный момент будет равен току разряда конденсатора, то есть результирующий ток будет равен нулю. Магнитная энергия катушки в этот (начальный) момент равна нулю.

Затем результирующий ток в цепи будет возрастать, а энергия из конденсатора будет переходить в катушку до полного разряда конденсатора. В этот момент электрическая энергия конденсатора. Магнитная же энергия, сосредоточенная в катушке, напротив, максимальна и равна
, где — индуктивность катушки, — максимальное значение тока.
После этого начнётся перезарядка конденсатора, то есть заряд конденсатора напряжением другой полярности. Перезарядка будет проходить до тех пор, пока магнитная энергия катушки не перейдёт в электрическую энергию конденсатора. Конденсатор, в этом случае, снова будет заряжен до напряжения.

В результате в цепи возникают колебания, длительность которых будет обратно пропорциональна потерям энергии в контуре.

В общем, описанные выше процессы в параллельном колебательном контуре называются резонанс токов, что означает, что через индуктивность и ёмкость протекают токи, больше тока проходящего через весь контур, причем эти токи больше в определённое число раз, которое называется добротностью. Эти большие токи не покидают пределов контура, так как они противофазны и сами себя компенсируют. Стоит также заметить, что сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте стремится к бесконечности (в отличие от последовательного колебательного контура, сопротивление которого на резонансной частоте стремится к нулю), а это делает его незаменимым фильтром.

Стоит заметить, что помимо простого колебательного контура, есть ещё колебательные контуры первого, второго и третьего рода, что учитывают потери и имеют другие особенности.

Напряжение, возникающее в катушке при изменении протекающего тока равно

Аналогично для тока, вызванного изменением напряжения на конденсаторе:

Поскольку всё возникающее в катушке напряжение падает на конденсаторе, то, а ток, вызванный конденсатором проходит через катушку, то.Дифференцируя одно из уравнений и подставляя результат в другое, получаем

Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой (иначе она называется собственной частотой гармонического осциллятора)

Решением такого уравнения является

где — некая постоянная, называемая амплитудой колебаний, — также некоторая постоянная, называемая начальной фазой. И, например, при начальных условиях решение сведётся к

Решение может быть записано также в виде

где и — некоторые константы, которые связаны с амплитудой и фазой следующими отношениями