Постоянная емкость

Уравнение емкости

Представим себе резервуар неизменной вместимости V, заполненный газом, который принимает в резервуар в единицу времени в количестве и в то же время вытекает из него в количестве (рис.10.5).

Рисунок 10.5 – Схема аккумулятора газа с постоянным объемом

На эти расходы газа можно влиять посредством задвижек 1 и 2. При установившемся движении газа

(10.16)

Путем воздействия на распределительные органы нарушим равенство расходов (10.16). Тогда согласно закону сохранения материи

(10.17)

где - удельный вес газа

Разделив обе части (10.17) на и вычитая получено (10.16) из (10.17), получим:

(10.18)

где

Выберем в качестве параметра, характеризующего состояние газа в аккумуляторе, давление . Предположим, что во время неустановившегося процесса состояние газа в резервуаре изменяется политропно, то есть:

(10.19)

где n - показатель политропы.

После дифференцирования (10.19) найдем:

(10.19)

В уравнение (10.20) левую и правую часть разделим на , подставим и разложим в ряд (бином Ньютона) выражение:

Тогда .

Рассматривая колебания малыми, считаем что величина малая, а произведение величиной второго порядка малости. Поэтому, отбросив величины второго и высшего порядка малости, последнее уравнение запишем так:

(10.21)

В (10.18) введем вместе и обозначим D₀ вес газа в данном резервуаре, т.е. положим .

Тогда

(10.22)

Предположим, что расходы газа G₁ и G₂ можно представить в виде следующих функций:

где и –координаты, определяющие положения распределительных органов 1 и 2 (рис.10.5). При этом давление до задвижки 1 и после задвижки 2 считаем неизменным. Тогда для малых колебаний имеем:

(10.23)

(10.24)

Подставив (10.23) и (10.24) в (10.22) и представив переменные в относительных единицах, получим уравнение газового объема в форме:

(10.25)

где

; ; ; ; ; .

Динамическая постоянная имеет положительное значение так как и .

Динамические постоянные , и имеют размерность времени и называются временами емкости.

Количество газа, поступающего в резервуар и вытекающего из него, может зависеть от дополнительных параметров по сравнению с принятыми в уравнениях (10.23) и (10.24). Так, например, давление перед задвижкой 1 может изменятся , а тогда .

В этом случае в уравнении емкости появится дополнительный член с переменной Р₁.

Допустим, что во всем диапазоне изменений расход G₁ линейно зависит от координаты m₁. Тогда при n=1 константа приобретает смысл времени заполнения объема при полностью открытой задвижки 1 и закрытой задвижки 2, если во время заполнения расход условно считать неизменным и равным расходу для давления установившегося режима. Аналогичное условное толкование можно дать константе .