Вертикальные асимптоты
Из определения асимптоты следует, что еслиили или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
M
j
N
j P
Q
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.
По условию: , ÐNMP = j, .
Угол j - постоянный и не равный 900, тогда
Тогда .
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х®¥, то , т.к. b = const, то .
Тогда , следовательно,
.
Т.к. , то , следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
|
|
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты:
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.