Основные понятия и базовые принципы теории игр

Курс лекций

Игра - математическая модель игровой ситуации принятия решений, характеризуемая следующими особенностями:

1. наличие не менее двух участников, имеющих разные интересы - конфликтность;

2. наличие у каждого из участников нескольких вариантов поведения - стратегий (неопределенность);

3. результаты, получаемые игроками (платежи), зависят от стратегий, выбранных всеми участниками - взаимозависимость поведения;

4. наличие правил игры, определяющих возможные стратегии игроков, последовательность их действий, их информированность, получаемые результаты и т.д.

Игроки - стороны, участвующие в конфликтной ситуации (i). Обозначим множество всех игроков как I={1,2,…, N}.

Выигрыш (проигрыш) – исход конфликта.

Правила, вводимые для каждой формализованной игры, - система условий, определяющая:

1. варианты действий игроков;

2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;

3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.

Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш — единицей, а ничью — 1/2.

Ход игрока - выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий. Ход может быть:

· личным - сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре);

· случайным - случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.

Стратегии (s_i) - последовательные или одновременные действия (решения) игроков. Для каждого игрока задается множество стратегий S_i.

Стратегия игрока - совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ).

Профиль стратегий s_N={s₁,s₂,..,s_N} - набор стратегий, выбранных каждым из игроков. Профиль стратегий определяют платежи игроков.

Платежная функция u_i - некая результатная величина, существующая для каждого игрока. Каждый игрок выбирает свою стратегию s_i из S_i. После того, как это сделают все, определяется платеж игрока u_i (s_N).

Множество чистых стратегий - множество S_i.

Игра решается в чистых стратегиях, если игроки выбирают по одной стратегии из своих множеств стратегий, и выбирали бы эти же стратегии всякий раз при повторении игры.

Смешанная стратегия игрока - это комбинации чистых стратегий, выбираемых в определенном сочетании или с определенной вероятностью. Для некоторых игр смешанная стратегия может интерпретироваться как комбинация или распределение ресурсов, действий, инвестиций, закупок товаров и т.д.

Решить игру (найти решение игры) – для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда другие придерживаются своей стратегии.

В играх с двумя игроками стратегии, при которых один из игроков получает максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии, и в то же время второй игрок имеет минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии, называются оптимальными.

Замечание:

если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии предполагается, что игроки ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.

Замечания:

особенностями применения теории игр для решения экономических задач является то, что

· в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности, а важнейшим ограничением теории игр является единственность выигрыша как показателя эффективности,

· в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.

К базовым принципам теории игр относятся:

· принцип рациональности - игроки принимают решения, основываясь на некоторых разумных основаниях и руководствуясь общими критериями;

· принцип общего знания - все игроки знают правила игры; все игроки знают, что все знают правила игры; все знают, что все знают, что все знают правила игры и т.д;

· принцип исключения доминируемых стратегий - стратегия s₁ доминирует над s₂, если платеж, полученный игроком при стратегии s₁ больше платежа при стратегии s₂.

Игра называется разрешимой по доминированию, если к решению можно прийти через исключение доминируемых стратегий.

Равновесием в доминирующих стратегия называется решение игры, которое оказывается единственно возможным после последующего исключения всех доминируемых стратегий всех игроков.