Пример 3 Оптимальные стратегии в условиях неопределенности. Устойчивость игровых моделей

В рассмотренном примере1 верхняя и нижняя цены игры различны:

α ≠ β.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры α=β=v называется чистой ценой игры, или ценой игры.

Минимаксные стратегии, соответствующие чистой цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность - оптимальным решением, или решением игры.

В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш ν, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока А) проигрыша ν.

Такое решение игры обладает устойчивостью, т.е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий A_i и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент h _ij, является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз — в другом). Пусть

А* и В* - пара чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой,

P(A_i,B_j)=h_ij - функция выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий.

Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство:

P(A_i,B*) ≤ P(A*,B*) ≤ P(A*,B_j),

которое справедливо для всех i =1,...,m; j=1,...,n.

Действительно, выбор стратегии А* первым игроком при оптимальной стратегии В* второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: P(A*,B*) ≥ P(A_i,B*), а выбор стратегии В* вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: P(A*,B*) ≤ P(A*,B_j).

Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей