Введение. Этапы математического моделирования

Этапы математического моделирования:

1. Выбор исходных теоретических положений: обобщение опыта и наблюдений; предложение гипотезы.

2. Математическая формулировка задачи - т.е. собственно построение математической модели, математическое моделирование.

3. Выбор метода исследования сформулированной задачи.

4. Проведение исследования модели на основе этого метода

5. Оценка согласованности модели с экспериментальной информацией.

6. Анализ и интерпретация модели.

7. Выводы, рекомендации, корректировка модели (верификация модели) или ее перестройка (возвратный цикл).

Второй пункт математического моделирования в зависимости от данных может быть осуществлен двумя разными подходами, которые соответствуют двум моделям: детерминированной и статистической.

Детерминированная модель - это модель хорошо организованной системы, где процессы регулярные, упорядоченные. Эти модели описываются дифференциальными (конечноразностными) уравнениями, где на основе решения уравнения (системы уравнений), можно предсказать последующее состояние системы однозначно. Для однозначности решения вводятся ограничения, такие как начальные и граничные условия и главное замкнутость системы, обеспечивающая однозначность результата, для достижения которой используются законы сохранения массы, энергии (в гидрогеологии, например, баланс подземных вод).

При оценке согласованности полученных результатов детерминированного моделирования с экспериментальной информацией, несоответствия экспериментальных (наблюдаемых) данных (лабораторных или полевых исследований) с расчетными данными по модели относят, как правило, к ошибкам измерений (опробования) эксперимента. Обычно такая допустимая ошибка не превышает 1 - 5%.

Статистическая модель - это математическое выражение (уравнения или неравенства) также содержащее переменные, параметры и константы, и хотя бы одну или более случайных компонент.

При оценке погрешности применения статистической модели несоответствия модельных и экспериментальных данных, учитываются три возможных вида ошибок: ошибка опробования, ошибка метода исследований (уравнения и т.д.) и ошибка, связанная с собственной изменчивостью переменных. Таким образом, статистическая модель несет в себе черты и детерминизма и случайности. При нашем рассмотрении статистического моделирования будем считать, что первая ошибка не существенна, а вторая и третья ошибки существенны и сопоставимы.

Вопрос об ошибках моделирования, вообще является ключевым при выборе подхода математического моделирования на основе анализа данных.

Любые данные полученные в результате наблюдений реального физического явления могут быть отнесены к детерминированному или не детерминированному (случайному) типу.

Существуют две различные тенденции в построении моделей природных процессов (в частности гидрогеологических), отвечающие в одном случае - детерминированному, в другом - случайному типу. С практической точки зрения отношение к тому или иному типу моделей основывается на способности воспроизвести процесс в ходе контролируемого эксперимента.

При детерминированном подходе процесс описывается математическим выражением и приводит к одним и тем же (в пределах заданной вероятности ошибки) результатам. Трудности применения детерминированных методов (решение уравнения водного баланса, гидродинамические расчеты и моделирование) при исследованиях обусловлены, прежде всего, тем, что довольно часто не имеется достаточно полных знаний для учета всех закономерностей процесса, а также еще и тем, что исходные данные взятые для анализа (гидрогеологические характеристики) имеют следующие ограничения: 1) неравномерность распределения по территории; 2) неоднородность по структуре - достаточно большая изменчивость на очень малых не сопоставимых с масштабом исследований расстояниях (как в плане, так и в разрезе; 3) разнородность по способу получения информации: точечные, интервальные и площадные данные; 4) данные относятся к различным категориям: количественные и качественные.

При использовании методов статистического анализа уравнение для результирующего параметра содержит две составляющие. Детерминированная составляющая (компонента) включает переменные, контролирующие изменчивость переменных - эти параметры выбраны на основе представлений о процессе формирование с позиций вероятностного подхода, когда основные параметры выбранные случайно, могут быть известны не все или определяются с недостаточной точностью. Случайная компонента отражает несоответствие в выбранной модели между расчетными величинами результирующего параметра по детерминированной составляющей и его реальными значениями.

Применение вероятностного подхода определяется, прежде всего, требованиями к данным, основными среди которых являются: массовость и случайность опробования; точечная (дискретная) оценка изменчивости переменной (параметра), когда каждому объекту опробования присваивается одно усредненное значение конкретного параметра, а временная изменчивость параметров рассматривается за равные интервалы времени.

При гидрогеологических исследованиях в условиях недостаточности и неравномерности геологической и гидрогеологической изученности больших территорий применение статистического моделирования обеспечивает приближенное представление о процессе на данном уровне знаний. При этом любая, даже самая совершенная, статистическая модель позволяет судить не обо всех, а только о тех закономерностях формирования и оценках изменчивости переменных, которые должны быть предварительно сформулированы и учтены моделью на основе существующих знаний о процессе.

Неадекватность статистической модели природным явлениям усугубляется еще и тем, что статистические зависимости, как бы они не были значимыми, никогда не могут установить причинной связи; тезис о причинности должен приходить извне статистики. Это принципиальный факт, из которого следует, что при правильном использовании статистические методы могут быть полезны, как вспомогательный инструмент анализа данных, позволяющий получить не противоречащие результаты тем или иным гипотезам, однако доказать гипотезу, “выяснить сущность процесса” методами статистического моделирования невозможно.

Отсюда следуют основные методологические позиции применения статистического моделирования: 1) Необходимо различать формальную (математическую) и содержательну ю (построение модели, истолкование результатов) часть применения статистических методов; 2) Эффективность использования конкретного статистического метода при моделировании решается исходя из постановки гипотезы, основанной на знаниях о процессе, а также профессиональных знаний исследователя в области математической статистики для правильного применения того или иного метода, его интерпретации и исключения серьезных формальных ошибок.

Существует определенная степень свободы при выборе статистического метода, так как довольно часто реализация “ рабочей гипотезы” возможна с применением целого набора методов. Так существуют несколько форм применения корреляционно - регрессионного анализа (от простой линейной регрессии до моделей многомерного анализа), комплексное использование которых позволяет грамотно с математических позиций, интерпретировать полученные результаты и обосновывать выдвинутые предположения.

Целью предварительной обработки данных является формулирование гипотезы о структуре математической модели процесса, определение состава и объема массива данных, выбор возможных методов последующей статистической обработки. Для этого рекомендуется последовательное решение следующих задач, с использованием итерационной процедуры, когда возможно повторное возвращение к решению задачи после получения результатов дальнейшего анализа:

- задача, связанная с неоднородными по качеству данными - эта задача включает анализ, отбраковку и восстановление пропущенных данных, устранение ошибок и уменьшение влияния аномальных данных на результаты последующей обработки;

- проверка законов распределения, оценка параметров и числовых характеристик исходных данных;

- сжатие и группировка исходной информации при большом объеме данных, а также при необходимости объединение нескольких групп данных (например, разновременных) для совместной обработки;

- выявление статистических связей (и возможных взаимосвязей) между различными переменными, включая результирующие, и анализ временных рядов.

Кроме указанных задач данный этап может включать постановочную задачу многомерной статистики - отображение, преобразование, унификация многомерных данных в виде матрицы порядка (m x n), где m - количество взятых для анализа характеристик переменных, а n - количество взятых для анализа объектов опробования.

Задачей данного курса является последовательное применение методов статистической обработки данных, начиная от одномерной (описательной), двумерной (парная корреляция, регрессия) статистики до примеров применения методов многомерной статистики (множественная регрессия, факторный и дискриминантный анализы) в гидрогеологии.