Вариант 2
Вариант 1
Применительно к СНАУ получим следующий алгоритм:
1. Выбрать начальный вектор , положить
2. Вычислить вектор . Если все , где - заданная точность расчета, то получено решение, расчет окончен. Если и , то итерационный процесс расходится, расчет завершить аварийно.
3. Построить матрицу Якоби
и вычислить значения всех производных в точке .
4. Решить систему уравнений, определив вектор поправок
5. Вычислить новое приближение
и положить .
6. Если , где -заданное предельное число итераций, то аварийно завершить расчет, иначе перейти к п.2 алгоритма.
7. Конец алгоритма.
Метод Ньютона при начальном приближении близком к некоторому решению часто обладает устойчивой квадратичной сходимостью. При плохой начальной точке имеет место расходящийся итерационный процесс. Метод Ньютона расходится, если матрица Якоби плохо обусловлена в окрестности решения. Часто перед использованием метода Ньютона выполняют несколько итераций, например, методом последовательных приближений для того, чтобы иметь «хорошее» начальное приближение.
|
|
В качестве косвенного критерия расхождения итерационного процесса можно использовать изменение знака Якобиана - определителя матрицы Якоби. Однако это условие, являясь достаточным, не является необходимым. Якобиан может быть вычислен, как побочный продукт решения методом Гаусса системы из п.3 алгоритма.
Алгоритм:
- Задаём абсолютную или относительную погрешность , число уравнений , максимальное число итераций и вектор начальных приближений (с компонентами ).
- Используя разложение в ряд Тейлора, формулируем матрицу Якоби , необходимую для расчёта приращений при малом изменении переменных. Матрица Якоби в развёрнутом виде записывается следующим образом:
Поскольку аналитическое дифференцирование в общем случае нежелательно, заменяем частные производные в матрице Якоби их приближенными конечно-разностными значениями
где - малое приращение , например .
- Составляем и решаем систему линейных уравнений для малых приращений :
Решение этой системы даёт , т. е. .
- Вычисляем уточнённые значения
или в общем виде
- Для всех проверяем одно из условий: по абсолютной и относительной погрешностям.
Если оно выполняется, идём к п. 2, т. е. выполняем новую итерацию. Иначе считаем вектор найденным решением.
Испытаем метод Ньютона на примере
с . Матрица Якоби имеет вид
,
и уравнение Ньютона имеет вид
Использование гауссова исключения даёт , и поэтому новым приближением к решению будет . Решением же системы нелинейных уравнений является .
|
|