Определение соленоидального поля

Соленоидальные поля

Векторное поле a называется соленоидальным, если в каждой его точке дивергенция равна нулю:

(8.27)

В связи с этим соленоидальные поля часто называют несжимаемым. Происхождение этого названия легко понять, если обратится к гидродинамическому смыслу дивергенции. Простейшим примером соленоидального поля является поле скоростей несжимаемой жидкости или магнитное поле.

Мы выяснили, что div rot jº0. Это значит, что если векторное поле является соленоидальным, то его можно представить в виде ротора некоторого поля A:

. (8.28)

Вектор A называется векторным потенциалом данного поля. Отметим, что условие (8.28) необходимо, но, вообще говоря, не достаточно для существования векторного потенциала.

Поток соленоидального поля через любою замкнутую поверхность, целиком лежащей в области непрерывности поля, равен нулю:

. (8.29)

Эта формула является следствием теоремы Остроградского-Гаусса. Однако теорему Остроградского-Гаусса можно применить только для односвязных областей, т.е. только для поверхностей, которые можно стянуть в точку поля, не выходя за пределы поля.

Итак, векторное поле является соленоидальным тогда и только тогда, когда равен нулю поток через любою замкнутую поверхность, которую можно стянуть в точку, не пересекая его границ.

Отметим, что выполнение любого из условий (8.27)-(8.29) являются достаточными для того, чтобы векторное поле было соленоидальным, и выполнялись остальные условия.