Вычисление потенциала

Значение потенциальных полей (в отличие от других векторных полей) определяется тем, что для их изучения достаточно исследовать только одну скалярную функцию (потенциал). Другими словами, изучение потенциального векторного поля сводится к исследованию скалярного поля. Поэтому исследование потенциального поля a начинается с нахождения его потенциала j.

Рассмотрим циркуляцию потенциального поля a вдоль любого пути M ₀ M – соединяющего произвольно фиксированную точку M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) с текущей точкой M (x,y,z). Тогда в соответствии с формулой (8.21):

Поскольку потенциал определяется с точностью до произвольного слагаемого, то j(M ₀) в данной формуле можно опустить. Тогда потенциал можно вычислять по формуле

. (8.23)

Поскольку путь M ₀ M можно быть любым, то проще всего взять ломаную линию M ₀ ABM, звенья которой параллельны соответствующим координатным осям (см. рис. 8.2). Тогда получим

(8.24)

За точку M ₀ удобно принимать начало координат (если, конечно, она лежит в области непрерывности поля).

Пример 8.2. Дано векторное поле

Показать, что оно потенциально и найти его потенциал.

Решение. Убедимся, что данное поле является потенциальным:

Вычислим потенциал, приняв за начальную точку M₀ начало координат:

В общем виде, потенциал рассматриваемого поля можно записать следующим образом:

j = x ² y – y ² +xz +const.

Проверка

Пример 8.3. Векторное поле называется центральным, если его можно представить в виде

, (8.25)

где r – радиус вектор, соединяющий фиксированную точку O (центр поля) с текущей точкой М. Показать, что центральное поле является потенциальным и найти его потенциал.

Решение. Совместив начало координат с центром поля, получим

, , .