Касательная и нормаль в поверхности

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть F (t) = f (j(t)), tÎR^m сложная функция, как уже отмечалось

dF = = = = =.

Таким образом,

dF=.

Первый дифференциал функции F имеет такую же форму, как и в случае, когда x является независимым переменным. Это свойство носит название свойством инвариантности формы первого дифференциала. В частности, отсюда следуют широко используемые свойства дифференциала

1) d (u+v) = du + dv.

2) d (uv) = vdu + udv.

3) d (u / v) = (vdu – udv)/ v ².

Докажем третье свойство.

, ч.т.д.

5.1.5. Производная по заданному направлению. Градиент

Пусть u = f (x,y,z), M ⁰(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰)Î D. Градиент функции f в точке M ⁰определяется по формуле grad f = = i + j + k.

Пусть l единичный вектор || l ||= 1, l = cos a i + cos b j + cos g k, обозначим текущую точку на луче, выходящем из исходной точки в направлении вектора l,через

M ^t = (x ⁰ + t cos a, y ⁰ + t cos b, z ⁰ + t cos g) =M ⁰ + t l.

Производной функции f (x,y,z) в точке M ⁰ по направлению вектора l называется предел

.

Для иллюстрации рассмотрим функцию двух переменных. Точка и текущая точка, лежащая на луче показаны на рис. 5.1. В плоскости (рис. 5.2) предел представляет собой обычную производную функции, которая получается в сечении поверхности плоскотью проходящей через точку M ⁰параллельно вектору l = cos a i + cos b j и оси Oz.

Рис. 5.1	Рис. 5.2

Теорема. Если функция f дифференцируема в точке M ⁰, то

= (grad f, l)

Доказательство. Отсюда, по определению производной по направлению получается требуемое неравенство

= =(grad f, l).

Из последнего неравенства следует, что у дифференцируемой функции существует производная по любому направлению.

Задача. Для заданной функции f (x)в точке x ⁰найти направление, в направлении которого функция f (x)имеет максимальный рост (максимальное убывание).

Решение. Так как l)то искомое направление определяется вектором l =.

5.2. Гладкие поверхности

Касательная и нормаль к поверхности. Способы задания поверхностей. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков.

Пусть f (x)определена на множестве D и P ⁰ = (x ⁰ ,y ⁰)внутренняя точка области D. Рассмотрим поверхность Ф, определяемую графиком функции z=f (x,y)на D. Точку на поверхности обозначим M= (x,y, f (x.y)) =(P, f (P)), её проекции на плоскости x,O,y будем обозначать P= (x,y) (слайд «Касательная плоскость»), кроме того,

M ⁰ = (x ⁰, y ⁰, z ⁰) =(x ⁰ ,y ⁰, f (x ⁰ ,y ⁰))= (P ⁰, f (P ⁰)), P ⁰ = (x ⁰, y ⁰).

Плоскость

Z – z ⁰ = A (x – x ⁰) +B (y – y ⁰), (a)

проходящая через точку M ⁰ называется касательной плоскостью к поверхности Ф, если разность между аппликатами точки M= (x,y, f (x.y)) и точки Q (x,y,z)Î(a) есть бесконечно малая более высокого порядка, чем r при r®0. Другими словами,

f (x,y) – [ z ⁰ + A (x – x ⁰) +B (y – y ⁰)]= o (r(P,P ⁰))

Касательная плоскость

Из этого определения следует, что существование касательной сводится к выполнению равенства

f (x,y) – z ⁰= A (x – x ⁰) +B (y – y ⁰)+ o (r(P,P ⁰)),

которое равносильно дифференцируемости функции f (x,y) в точке P ⁰(x ⁰ ,y ⁰). При этом коэффициенты A, B в уравнении плоскости (a) равны

.

Замечание. Касательная плоскость, если она существует, определяется единственным образом.

Вектор нормали плоскости (a) назывется нормалью к поверхности в рассматриваемой точке. Вектор нормали определяется с точностью до множителя, отличного от нуля Единичными нормалями будут вектора.

Определение. Поверхность z = f (x,y), (x,y)Î D называется гладкой, если функция f (x,y) непрерывно дифференцируема на D, т.е. имеет там непрерывные частные производные. Геометрически это означает непрерывное изменение касательной плоскости или вектора нормали при перемещении по поверхности.