Геометрическая интерпретация частных производных. Приращение функции. Дифференциал

Определение частной производной

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x,y)на D, M ⁰ = (x ⁰ ,y ⁰)– внутренняя точка. Фиксируем y ⁰, определяем функцию одного переменного F (x) = f (x,y ⁰). Если у этой функции одного переменного существует производная в точке x ⁰, то она называется частной производной функции f(x,y) и обозначается

Обозначения для частной производной: f_x ¢, f ₁¢. Аналогично определяется.

Общий случай. Пусть f (M) = f (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n)определена в окрестности точки. Тогда частная производная по первой переменной определяется как предел

и по переменной x_k

Замечание. Так как определение частных производных сводится к понятию обычной производной некоторой функции одного переменного, то справедливы свойства, аналогичные свойствам производных для функции одного переменного. В частности, справедливы формулы для производных суммы, произведения и частного двух функций.

См. слайд «Частная производнная».

Частная производная

Некоторые обозначения.

Определение. Функция f (x) дифференцируема в точке в точке x ⁰, если ее приращение в этой точке представимо в виде

D f = (A, D x) +o (r),

где (A,D x) =, r=r(x,x ⁰), o (r)=e(x, x ⁰)r(x,x ⁰) ,.

Линейная функция (A, D x)называется дифференциалом и обозначается

df (x ⁰) =(A, D x) = A ₁D x ₁ +…+ A_n D x_n.

Замечание. В определении дифференциала величину o (r)=er можно записывать в виде

a₁D x ₁+a₂D x ₂+…+a _n D x_n= (a, D x), где a - бесконечно малый вектор.

Действительно, имеем er = =, и обратно,.

Теорема (необходимое условие дифференцируемости). Всякая дифференцируемая в точке x ⁰ функция непрерывна в этой точке.

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Теорема. Если f (x) дифференцируема в точке x ⁰ и df=, то в этой точке существуют все частные производные.

Утверждение следует непосредственно из определения дифференцируемости.

Следствие. Дифференциал функции в точке (коэффициенты A_k) определяется однозначно.

Теорема (достаточные условия дифференцируемости). Если функция f имеет частные производные в некоторой окрестности точки M ⁰, непрерывные в самой точке, то функция f дифференцируема в этой точке.

Доказательство (для случая n = 2).Для приращения функции можно записать равенства

D f = f (x,y) – f (x ⁰ ,y) + f (x ⁰ ,y) – f (x ⁰ ,y ⁰) = + =

= + aD x+ bD y,

где a, b- бесконечно малые функции. Здесь была использована теорема Лагранжа о конечных приращениях.

Пример функции, имеющей частные производные в точке, но не дифференцируемой в точке f(x,y) = (слайд «Сечения»).

Сечения

Отметим, что |f(x,y)|£|y| Þ функция f (x,y)непрерывна всюду. Обе производные в точке равны нулю: = =0, = =. Если бы функция была дифференцируема в точке, то D f = o (r)Þ, или. Но при x=y получим.

5.1.3. Простейшие свойства дифференциала. Дифференцирование сложной функции

Теорема. Пусть u=f (x) дифференцируема в точке x ⁰ = (x ₁⁰ ,x ₂⁰ ,…,x_n ⁰) и функция j(t) ,t= (t ₁ ,…,t_m) дифференцируема в точке t ⁰ и x ⁰ = j(t ⁰). Тогда в окрестности точки t ⁰ определена сложная функция F (t) = f (j(t)) и эта функция дифференцируема в точке t ⁰ и

dF =

Доказательство. В силу дифференцируемости f и j _j эти функции непрерывны в точках x ⁰и t ⁰соответственно. Из теоремы о непрерывности сложной функции суперпозиция определена в некоторой окрестности точки t ⁰. Для краткости, будем обозначать r=r(x,x ⁰)=r(j(t),j(t ⁰)),, D x_i = j _i (t) – j _i (t ⁰). Отметим, что ограничено в некоторой окрестности точки t ⁰. Действительно,