Достаточные условия для экстремума

Лемма 1. Единичная сфера S=S ₁(O) = { x Î Rⁿ:r(x,O)=1} (O =(0,0,…,0)) является замкнутым ограниченным множеством.

Доказательство. Ограниченность очевидна. Замкнутость следует из того, что функция f (x) = r(x ⁰ ,x)является непрерывной функцией. Действительно, пусть последовательность { x^k }принадлежит единичной сфере r(x ⁰ ,x^k)=1и x^k®y. Тогда, переходя к пределу в равенстве r(x ⁰ ,x^k)=1получим r(x ⁰, y)=1, т. е. y Î S ₁.

Рассмотрим квадратичную форму

(Q)

где b_kj некоторые постоянные,.

Лемма 2. Если квадратичная форма (Q) пололожительно определена, то

где S – единичная сфера евклидова пространства Rⁿ с центром в начале координат, если квадратичная форма (Q) отрицательно определена, то

Рис. 5.7

Доказательство для первого случая. По второй теореме Вейерштрасса достигается в некоторой точке. Так как квадратичная форма положительно определена, то что и требовалось доказать.

Рассмотрим квадратичную форму

(5.9)

где a_kj (t) =, x^t = x ⁰ + t D x, D x = x – x ⁰ ,.

Теорема. Путь функция f (x) определена в окрестности стационарной точки x ⁰, имеет там непрерывные частные производные второго порядка, тогда, если квадратичная форма (5.9) в точке x ⁰

1) положительно определена, то x ⁰ строгий локальный минимум,

2) отрицательно определена, то x ⁰ строгий локальный максимум,

3) знакопеременна, то x ⁰ не является экстремумом

В остальных случаях ничего определенного сказать нельзя.

Доказательство. Для двух точек x ⁰, x положим h _k, тогда h=(h₁,…,h _n)Î S ₁(O)и

f (x) – f (x ⁰) = d ² f (x ^q) = = =.

В случае 1) q (h) = >r> 0, где r = q (h)и поэтому величина f (x) – f (x ⁰) в достаточно малой проколотой окрестности точки x ⁰будет положительной (второе слагаемое в квадратных скобках стремится к нулю, а первое слагаемое отделено от нуля).

Аналогично в случае 2), квадратичная форма q (h) = <s< 0, s = q (h). Поэтому величина приращения функции f (x) – f (x ⁰) в достаточно малой проколотой окрестности точки x ⁰будет отрицательной.

В случае 3)существуют точки x ¢, x ¢¢ такие, что для их приращенийвыполняется. Рассмотрим два луча, выходящие из точки x ⁰в направлении точек (рис. 5.8).

Рис. 5.8

По этим направлениямкоординаты приращений будут равны

(y^t – x ⁰) _k=t D x_k ¢¢ иr(x ⁰ ,x^t) =t r(x ⁰ ,x ¢), r(x ⁰ ,y^t) =t r(x ⁰ ,x ¢¢). Тогда для приращений функции на первом луче получим выражение

f (x^t) – f (x ⁰) =

Аналогично, для второго направления

f (y^t) – f (x ⁰) =.

Это означает, что по направлению x^t будет f (x^t) – f (x ⁰) > 0, т.е. наблюдается минимумв некоторой проколотой окрестности исходной точки, а в направлении y^t будет выполнено противоположное неравенство f (y^t) – f (x ⁰) < 0, т.е. имеется максимум.

Пример 1. z = x ² + y ² – 12 x + 16 y на всей плоскости. dz = 2 x dx + 2 y dy – 12 dx + 16 dy = (2 x – 12) dx + 2 (y + 8) dy. x = 6, y = -4 – стационарная точка. d ² z = 2 dx ² + 2 dy ²– положительно определена. Строгий локальный минимум.