2014-02-09
705
Свойство дистрибутивности.
Свойство ассоциативности.
Свойство коммутативности.
Свойства элементарных логических функций, двойственные аксиомы и теоремы алгебры логики
Некоторые законы алгебры также применимы к алгебре логики: логические выражения, содержащие операции дизъюнкции и конъюнкции, можно преобразовывать (раскрывать скобки, выносить общий множитель, переставлять местами члены и т. д.) по правилам алгебры, считая формально дизъюнкцию операцией сложения, а конъюнкцию – операцией умножения.
Свойство коммутативности для умножения (конъюнкции):
A · B = B · A
Свойство коммутативности для сложения (дизъюнкции):
A + B = B + A
Свойство ассоциативности для умножения (конъюнкции):
A(B · C) = (A · B)C
Свойство ассоциативности для сложения (дизъюнкции):
A+(B + C) = (A + B)+C
Свойство дистрибутивности для умножения по отношению к сложению:
A(B + C) = A · B+ A · C
Свойство дистрибутивности для сложения по отношению к умножению:
A+BC = (A + B)(A+C)
Двойственность определяется как изменение всех знаков операции И на знаки операции ИЛИ, всех знаков операции ИЛИ на И, всех нулей на единицы, а всех единиц — на нули; является одним из основных свойств алгебры логики и означает, что, если f(A, B, C) и f¢(A, B, C) – двойственные функции, то
f(A, B, C) = f¢(`A,`B,`C)
| 1) A = 1, если A ¹ 0 | A = 0, если A ¹ 1 |
| 2) если A = 0, то`A = 1 | если A = 1, то`A = 0 |
| 3) 0 + 0 = 0 | 0 × 0 = 0 |
| 4) 0 + 1 = 1 | 1 × 0 = 0 |
| 5) 1 + 1 = 1 | 1 × 1 = 1 |
| 6)`0 = 1 | `1 = 0 |
| 7) A + 0 = A | A × 1 = A |
| 8) A + 1 = 1 | A × 0 = 0 |
| 9) A + A = A | A × A = A |
  10) A = A | |
| 11) A +`A = 1 | A×`A = 0 |
12) теорема де Моргана  A + B + C =`A`B`C |  ABC =`A + `B + `C |
| 13) закон поглощение A(A + B) = A | A + AB = A |
| 14) A +`AB = A + B | A(`A + B) = AB |
| 15) закон склеивания AB +`AB = B(A +`A) = B | (A + B)(A +`B) = A |
Законы де Моргана, иллюстрирующие свойства двойственности:
ABC =`A +`B +`C
A + B + C =`A`B`C
Следствия законов де Моргана:
ABC = `A +`B +`C
 |
A + B + C = `A`B`C
Таким образом, есть возможность выражать конъюнкцию через дизъюнкцию, или дизъюнкцию – через конъюнкцию и отрицание. Законы де Моргана и следствия из них справедливы для любого количества переменных.
