Решение. Предварительно найдем значение частных производных в точке и направляющие коси

Решение

По определению

Предварительно найдем значение частных производных в точке и направляющие косинусы вектора: .

,

Задача 5.4 Определить размеры прямоугольного паралле­ле­пи­пе­да с диагональю , имеющего максимальный объем.

Пусть и - длины ребер параллелепипеда. Тогда его объем

.

Так как , то и .

Очевидно, что , , , .

Множество точек , удовлетворяющих этим требо­ва­ни­ям, можно изобразить так (рис.5.1.):

Рис. 5.1.

Для нахождения точек экстремума приравняем к нулю частные похідні функции :

Отсюда

Итак, имеем 4 критические точки:

; ; ;

Условию задачи удовлетворяет только первая точка .

Проверим выполнение в этой точке достаточного условия существования экстремума.

;

;

.

Следовательно, в точке существует экстремум, а именно максимум .

Зная и , найдем :

Значит, .

Итак, изо всех прямоугольных параллелепипедов с фиксированной диагональю максимальный объем имеет куб с ребром, равным .