2014-02-13
2185
Для ортогональных вейвлетов существует быстрое вейвлет-преобразование или алгоритм Малла. Оно реализует основанный на фильтрации итерационный алгоритм, причём число итераций N может быть произвольным.
Классическая схема Малла предполагает рекурсивное применение процедуры реконструкции сигнала в частотной области. Коэффициенты фильтров при этом соответствуют приведённым ниже обозначениям:
Таблица 2 – Коэффициенты фильтров.
| Тип фильтра | НЧ | ВЧ |
| Декомпозиция | Lo_D | Hi_D |
| Реконструкция | Lo_R | Hi_R |
Первый шаг алгоритма Малла поясняется диаграммой вейвлет-декомпозиции сигнала:
→ Lo_D →↓ 2 → cA1 (коэффициенты аппроксимации уровня 1)
s― ↕
→ Hi_D →↓ 2 → cD1 (детализирующие коэффициенты уровня 1)
Сигнал s подается на фильтры декомпозиции низких и высоких частот, после чего с помощью операции децимации ↓2 (уменьшения числа частотных составляющих вдвое) можно получить коэффициенты аппроксимации на входе фильтра низких частот и детализирующие коэффициенты на выходе фильтра высоких частот. Далее алгоритм может быть продолжен по схеме:
|
|
|
→ Lo_D →↓ 2 → cAj+1 (коэффициенты аппроксимации уровня j +1)
cAj― ↕
→ Hi_D →↓ 2 → cDj+1 (детализирующие коэфф. уровня j +1)
В результате мы получим полный набор аппроксимирующих и детализирующих коэффициентов, вплоть до уровня декомпозиции j +1. Это и есть вейвлет-декомпозиция сигнала. По этому набору коэффициентов можно построить вейвлет-спектрограмму сигнала, например для оценки его особенностей.
Переходим к диаграмме быстрой вейвлет-реконструкции. Используя операцию, обратную децимации, ↑2 (увеличение числа вдвое составляющих путем добавления нулевых компонентов вперемежку с имеющимися компонентами), можно получит диаграмму понижения уровня коэффициентов аппроксимации:
cAj →↓ 2 → Lo_R →
↕→ функция wkeep → cAj-1
cDj →↑ 2 → Hi_R →
Это означает постепенное приближение к исходному сигналу. В целом несколько упрощенно (|i| указывает на итерационный характер вычислений), процесс декомпозиции-реконструкции можно представить общей диаграммой вейвлет-преобразований:
→ Lo_D →↓ 2 → cA →→ cA →↑ 2 → Lo_R →
s― ↕ | i | (+)→ se
→ Hi_D →↓ 2 → cD →→ cD →↑ 2 → Hi_R →
В результате этого процесса исходный сигнал s раскладывается на вейвлет-компоненты вплоть до заданного уровня декомпозиции, после чего в ходе реконструкции, восстанавливается до приближенного сигнала se. Степень приближения зависит от уровня декомпозиции и реконструкции. Нулевой уровень соответствует точному восстановлению сигнала (se = s).
|
|
|
