Кратномасштабный анализ

Кратномасштабный анализ (КМА) основывается на представлении сигнала на основе суммирования его грубого представления с детализирующими локальными представлениями сигнала в его разных местах. Для этого используют ортогональные вейвлеты, создавая их на представлении пространства V в виде системы вложенных подпространств V_j, отличающихся друг от друга только перемасштабированием независимой переменной.

Этот вид анализа базируется на следующих исходных предпосылках:

● пространство сигналов V может быть разбито на иерархически вложенные подпространства V_j, которые не пересекаются и объединение которых дает в пределе L ²(R);

● для любой функции s (t)Î V_j ее сжатая версия принадлежит пространству V_j-1;

● существует такая функция φ (x)Î V ₀, для которой ее сдвиги
φ _{0, j} = φ (t-k) при k Z образуют ортонормированный базис пространства V ₀.

Так как функции φ_0,k (t) образуют ортонормированный базис пространства V ₀, то функции

(8)

образуют ортонормированный базис пространства V_j.

Эти функции называются масштабирующими, потому что они создают свои масштабированные версии в пространстве сигнала. При этом сигнал s (t) может быть представлен множеством последовательных приближений s_j (t) в субпространствах V_j.

Переменная j называется масштабным коэффициентом. Поскольку дерево декомпозиции сигнала при вейвлет-преобразовании принято отсчитывать вниз, значит сигнал s (t) есть предел аппроксимации s_j (t))Î V_j
при j →-∞, т.е.

s (t)=.

При больших j получаем грубые приближения сигнала, а при малых – точные. Приближение сигнала соответствует итерационной формуле:

,

причем

,

где h_k - некоторая последовательность. Сумма приближенной и детализирующей компонент дает исходный сигнал с тем или иным приближением.

Кратномасштабное представление лежит в основе многих применений вейвлет-анализа и вейвлет-преобразований. Например, применительно к сигналам изображений, оно означает представление изображений последовательностью образов с разной степенью их детализаций. При этом для создания грубого образа сигнала служит функция φ (t), а уточнение этого образа достигается с помощью вейвлет-функций или вейвлет-коэффициентов.

Первым типом вейвлета, на котором была теоретически доказана возможность кратномасштабного анализа (КМА) был вейвлет Хаара. На его примере было показано, что в ходе прямого и обратного дискретного вейвлет-преобразования возможно полное восстановление сигнала, если для целых k существуют такие коэффициенты { h_k }, что

.

Это функциональное уравнение является одним из важнейших в теории вейвлет-анализа, и называется уравнением масштабирования или уравнением уточнения. Для функции Хаара можно найти, что коэффициенты .

Добеши создала знаменитую серию вейвлетов, у которой, вейвлет db2 в сущности, является вейвлетом Хаара. Для получения вейвлета db4 Добеши использовала множество коэффициентов W ={} и потребовала, чтобы линейная комбинация с векторами [1,1,1,1] и [1,2,3,4] была равна 0, т.е.

и .

Используя эти соотношения в качестве условий нормирования и ортогональности, можно найти коэффициенты вейвлета Добеши db4:

.

Уравнение масштабирования может иметь несколько иные формы записи, оно может быть задано в виде (x=t для временных зависимостей):

причем (9)

Вместо коэффициентов h_k здесь использованы коэффициенты ω_n и более удобная для большинства вейвлетов нормировка.

Дискретизация параметра a =2^j означает возможность управления разрешением сигнала в ходе вейвлет-преобразований. Значения масштаба a и разрешения 1/ a представлены ниже в таблице 1.

Таблица 1 – Значения масштаба а и разрешения 1/ а.