Оценка аннуитетов

Аннуитет – денежный поток с равными поступлениями при равной периодичности.

Аннуитеты также подразделяются на prenumerando и postnumerando.

Наращенный аннуитет

Прямая задача оценки аннуитета

Все что относится к решению задачи оценки денежного потока применимо к оценке аннуитета с учетом его особенностей.

Для аннуитета выполняется

С₁ = С₂ = С₃ = … = С_n = А (1)

(2)

Поскольку для аннуитета выполняется условие (1), то формула наращенного потока преобразуется в формулу (2).

и

Развернем сумму q: S = q^n-1 + q^n-2 + q^n-3 + … + q + 1.

Развертывание суммы приводим последовательным подставлением в последнюю формулу все значения k от 0 до n. Для упрощения поменяем последовательность:

S = 1+ q + q² +… + q^n-3 + q^n-2 + q^n-1. (3)

С учетом того, что 1=q⁰ данная сумма представляет собой сумму первых n-членов геометрический прогрессии.

Домножим обе части равнения (3) на q.

S*q = q+ q² + q³ +… + q^n-2 + q^n-1 + qⁿ. (4)

Домножение ряда на q производится увеличением показателя степени на единицу.

Отнимем от уравнения (4) уравнение (3):

S*q – S = qⁿ - 1

Внутренний ряд между 1 и qⁿ в уравнениях (3) и (4) полностью совпадают:

S * (q - 1) = qⁿ – 1 (5)

Уравнение (5) представляет собой формулу определения суммы первых n-членов геометрической прогрессии. Эти суммы можно найти в справочниках.

Подставим значения введенных обозначений и получим:

или

Таким образом наращенная оценка аннуитета определяется:

Выведенное нами уравнение получило название мультиплицирующий множитель.

Он представляет собой значение наращенного аннуитета в одну денежную единицу при n периодов начисления процентов по ставке r.

Экономический смысл мультиплицирующего множителя FM3(r,n) – он показывает будущую стоимость аннуитета в одну денежную единицу.

В практике финансовых расчетов применяются финансовые таблицы, которые представляют собой свод значений протабулированной функции FM3(r,n).