Заполнение электронами зон вырожденного полупроводника

Статистика электронов и дырок

Задача статистики – определение концентрации «свободных», то есть участвующих в электропроводности электронов и дырок. Мы решаем, как при данной температуре заполнены квантовые состояния в зоне.

Для расчета распределения квантовых частиц (будь то электроны или фононы) по энергетическим уровням используется понятие функции распределения частиц по энергиям или вероятность заполнения энергетического уровня.

Допустим, имеется электронная система, в которой распределение энергетических уровней описывается функцией, зависящей от энергии N (E). Имеется n электронов, которые как-то распределены по уровням. Часть из этих уровней заполнена электронами, часть свободна. Если T =0 K, то будут заполнены только нижние энергетических уровней. Если систему нагреть до некоторой температуры T, то часть электронов, перейдет на более высокие уровни. Нельзя точно сказать какой электрон и с какого на какой уровень перейдет, но можно сказать, что после нагрева энергия электронной системы стала выше на величину полученной тепловой энергии. Вероятность заполнения состояния с энергией E электроном задается статистической функцией Ферми-Дирака:

,

(1.18)

где k – постоянная Больцмана, F – энергия Ферми. Отметим, что значение kT =0,026 эВ при комнатной температуре много меньше ширины запрещенной зоны рассмотренных полупроводников (табл. 1.1).

Энергия Ферми служит некоторой границей, разделяющей заполненные и незаполненные состояния системы. Действительно, вероятность заполнения энергетического уровня с энергией Ферми (Е=F) согласно (1.18) составляет: f(F)= ½. Все состояния с энергией меньшей энергии Ферми имеют вероятность заполнения больше ½. Все состояния находящиеся выше уровня Ферми имеют вероятность заполнения меньше ½. На рис.1.6 приведена зависимость f(E), рассчитанная для различных температур.

Рис. 1.7

Если на систему наложить внешнее электрическое поле, то электроны начнут приобретать энергию и смогут участвовать в электропроводности. Причем в электропроводности смогут принимать участие только те электроны, которые расположены на уровне Ферми и выше него. Электроны, находящиеся у дна зоны проводимости принимать участие в электропроводности не смогут, так как всё соседнее энергетическое пространство занято.

Чтобы определить, какое число электронов в системе может принимать участие в электропроводности, необходимо рассчитать распределение концентрации электронов по энергиям и проинтегрировать эту зависимость по всей разрешенной зоне как произведение плотности состояний на вероятность их заполнения:

,	(1.19)
	(1.20)

Если уровень Ферми F находится в этой зоне, то он разделяет заполненные и незаполненные её части. Если температура сравнительно низкая, то все уровни, лежащие ниже уровня Ферми заполнены электронами, и все уровни находящиеся выше уровня Ферми свободны (рис. 1.7).

* Представление о дырках введено Я.И. Френкелем в 1928 г.