2014-02-13
1479
Системы счисления, применяемые в цифровых ЭВМ
В ЭВМ используются следующие системы счисления:
1. Двоичная система счисления - в качестве рабочей;
2. Десятичная система счисления - для записи исходной информации и выдачи результатов;
3. Восьмеричная система счисления;
4. Шестнадцатиричная система счисления;
5. Смешанная (двоично-десятичная) система счисления.
Восьмеричная и шестнадцатиричная системы счисления являются вспомогательными. Они применяются при подготовке задач к решению (программировании на языках ассемблере, машинном и др.). Данные системы удобны тем, что 8-ричная запись какого-либо числа в три раза короче его двоичной записи, а 16-ричная запись - в четыре раза. Что касается перевода чисел из одной системы в другую, а именно по схемам 8®2, 2®8, 16®2, 2®16, то он не вызывает каких-либо затруднений и может выполняться чисто механическим путем.
Двоично-десятичная система счисления также является вспомогательной и используется, в основном, для хранения десятичных чисел в памяти ЭВМ. Запись десятичных чисел в двоично-десятичной с.с. осуществляется следующим образом. Каждая цифра десятичного числа записывается ее двоичным эквивалентом. Для такой записи потребуется не более четырех двоичных разрядов. Четырехзначное двоичное число, изображающее десятичную цифру, называется тетрадой.
|
|
|
Для того чтобы некоторое десятичное число представить в двоично-десятичной форме, необходимо каждую его цифру записать соответствующей ей тетрадой. Возьмем, например, десятичное число 3795,28 и запишем его в двоично-десятичном виде:
3 7 9 5, 2 8
0011 0111 1001 0101, 0010 1000
Т.о., десятичное число 3795,28 будет иметь такую двоично-десятичную запись: 0011011110010101,00101000.
Переход от десятичной к двоично-десятичной записи производится, как видим, элементарно и не требует каких-либо вычислений.
Для обратного перевода (от двоично-десятичной записи к десятичной) необходимо двоично-десятичное число влево и вправо от запятой разбить на четверки цифр (тетрады), а затем каждую из них записать отвечающей ей десятичной цифрой.
Пусть, например, дано двоично-десятичное число: 010110000110,00110111
Разобьем его на тетрады и заменим каждую тетраду десятичной цифрой:
0101 1000 0110, 0011 0111 = 586,37.
Общее правило для перевода целых чисел. Для перевода целого числа из одной позиционной системы счисления в другую, его надо последовательно разделить на основание q той системы, в которую оно переводится. Деление производится до тех пор, пока не получим частное, меньшее чем q. Число в новой системе счисления запишется в виде остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное дает старшую цифру числа. Перевод производится в той системе счисления из которой переводим.
|
|
|
Примеры:
1)
|
(3010®N2).
30| 2___
30 15 | 2___
0 14 7 | 2___
1 6 3 | 2___
1 2 1 ® Старшая циф-
1 ра результата
30=11102
 |
3) 2810®N16.
28 | 16_
16 1
12
Поскольку десятичное число 12 в 16-ричной системе счисления обозначается цифрой (буквой) С, получим: 2810=1С16.
Общее правило для перевода правильных дробей. Для перевода правильной дроби из одной позиционной системы счисления в другую, ее надо последовательно умножить на основание q той системы, в которую оно переводится. Перемножаются только дробные части. Дробь в новой системе запишется в виде целых частей получающихся произведений, начиная с первого.
Примеры.
1)
|
|
|
|
2
0,6250
2
1,2500
2
0,5000
2
1,0000
0,312510=0,01012.
Этот процесс необязательно будет конечным, как для целых чисел. Он может продолжаться для любого числа значащих цифр. Если получаемая дробь бесконечная, она может быть периодической (иметь повторяющиеся группы цифр - период) или непериодической. Например, десятичная дробь 0,15 выражается периодической дробью вида:
0,15=0,00100110011001...2=0,00(1001) 2.
В скобках указан период двоичной дроби.
Общее правило для перевода неправильных дробей. При переводе неправильных дробей отдельно переводят целую и дробную части по своим правилам.
|
37 | 8__
32 4
5
37=458.
0,41=0,3217...8.
37,4110=45,3217... 8.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную. Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную можно осуществить, используя свойство позиционной системы счисления (представление любого числа в виде многочлена по степеням основания) и выполняя действия над числами, представленными в привычной для нас десятичной системе. Примеры:
1) Дано двоичное число 1011012. Получить его десятичную запись (1011012®N10).
1011012=1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+1·20=32+0+8+4+0+1=45.
1011012=4510.
2) 1DA916®N10.
1DA916=1·163+13·162+10·161+9·160=4096+3328+160+9=7593
1DA916=759310.
Если основание p-ичной системы счисления является степенью основания q-ичной системы, т.е. p=qk (k - целое число), то перевод числа из p-ичной системы счисления в q-ичную систему счисления и, наоборот можно выполнить по более простым правилам: переводу каждой цифры в отдельности.
Перевод числа из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно. Т.к. 8=23, то для перевода в 8-ричного числа в двоичную систему счисления достаточно каждую восьмеричную цифру заменить ее двоичным представлением (двоичной триадой).
|
1 - 0012 5 - 1012
2 - 0102 6 - 1102
3 - 0112 7 - 1112
Для обратного перевода (из 2-ичной системы счисления в 8-ричную систему счисления) следует двоичное число разбить на триады влево и вправо от запятой, и каждую триаду заменить соответствующей ей 8-ричной цифрой. Если при разбиении самая левая или самая правая тройки оказываются неполными - их дополняют путем приписывания нулей. Примеры:
1) 1011102=101 1002=568.
2) 11101110,00011112=011 101 110, 000 111 1002=356,0748
Перевод чисел из шестнадцатиричной системы счисления в двоичную и обратно. Т.к. 16=24, то для перевода 16-ричного числа в 2-ичную с.с. достаточно каждую 16-ричную цифру заменить соответствующей ей двоичной тетрадой. Приведем эти тетрады:
|
1 - 0001 9 - 1001
2 - 0010 A - 1010
3 - 0011 B - 1011
4 - 0100 C - 1100
5 - 0101 D - 1101
6 - 0110 E - 1110
7 - 0111 F - 1111
Для обратного перевода (из 2-ичной системы счисления. в 16-ричную систему счисления) следует двоичное число разбить на тетрады влево и вправо от запятой, и каждую тетраду заменить соответствующей ей 16-ричной цифрой. Если при разбиении самая левая или самая правая четверки оказываются неполными - их дополняют путем приписывания нулей. Примеры:
|
|
|
1) 1011102 = 0010 11102 = 2E16. 2) 10111,1012 = 00010111,10102 = 17,A16.
