double arrow

Перевод чисел между системами счисления 2«8«16

Общее правило

Общее правило

перевода целых чисел из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q:

1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления;

2) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя;

3) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствии с алфавитом новой системы счисления;

4) составить число в новой системе счисления, записывая его начиная с последнего остатка.

Здесь и далее под исходной подразумевается система счисления с основанием p, под новой – с основанием q.

перевода правильной дроби: из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q:

1) основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления;

2) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или пока не будет достигнута требуемая точность представления числа;

3) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствии с алфавитом новой системы счисления;

4) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.


Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

Двоичная система счисления имеет основание 2 и две цифры: 0 и 1.

Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и восемь цифр: 0, 1,…, 7.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и шестнадцать цифр: 0, 1,…, 9, А, B, C, D, E, F. При этом знак «А» является 16-ой цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; В16=1110; С16=1210; D16=1310; Е16=1410; F16=1510. Другими словами в данном случае А..F – это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

Пользуясь алгоритмами, сформулированными в предыдущих разделах, можно заполнить таблицу 2.

Примем без доказательства две теоремы.

Теорема 1. Для преобразования целого числа Аp®Аq в том случае, если основания систем счисления связаны соотношением q=pr, где r – целое число большее 1, достаточно Ар разбить справа налево на группы по r цифр и каждую из них независимо перевести в систему q. (При необходимости исходное число следует дополнить незначащими нулями слева до группы в r цифр.)

Пример 9.

Выполнить преобразование 1100012®А8.

Решение.

Исходное число разбивается на группы по три разряда справа налево (8=23, следовательно, r=3) и каждая тройка в соответствии с таблицей 2 переводится в 8-ричную систему счисления независимо от остальных троек:

110001

6 1

Следовательно, 1100012=618. Аналогично, разбивая А2 на группы по 4 двоичные цифры и дополняя старшую группу незначащими нулями слева, получим 1100012=3116.

Таблица 2.

Представление чисел в системах счисления
10-ная 2-ная 8-ричная 16-ричная
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
      A
      B
      C
      D
      E
      F

Теорема 2. Для преобразования целого числа Аp®Аq в том случае, если системы счисления связаны соотношением p=qr, где r – целое число большее 1, достаточно каждую цифру Ар заменить соответствующим r-разрядным числом в системе счисления q.

Пример 10.

Выполнить преобразование D316® А2.

Решение.

D316=110100112

D 3

Переходы А8®А16 и А16®А8, очевидно, удобнее осуществлять через промежуточный переход к двоичной системе. Например, 1238=0010100112=5316.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: