Oрганизация движения по градиенту

Для организации движения вдоль линии крутого восхождения каждая из переменных изменяется, начиная из центра плана x⁰,с некоторым шагом: (в нормированных переменных),

где -заданная величина шага в нормированных переменных. Величина шага по соответствующей переменной в натуральных величинах будет:

Для перехода к натуральным значениям переменных (градусы, кг., секунды...) необходимо сделать обратный переход от нормированных величин по формуле:

,

здесь - значение l-ой переменной в натуральных величинах, интервал варьирования переменной относительно центра плана в натуральных величинах, - нормированное значение l-ой переменной, - центральная точка.

Значение управляемой переменной на очередном t-ом шаге будет:

Величина берётся с учётом знака. Для задания величины обычно задают величину шага _зад. для одной из переменных (x_m).В качестве неё целесообразно брать входную переменную,в наибольшей степени влияющей на целевую функцию (b_m=>max) либо ту, для которой величина шага задана директивно из других соображений. Тогда значение будет равно:

Эффективность метода в значительной степени зависит от организации выбора величины шагов при движении по градиенту.

При движении по градиенту в сторону оптимума в каждой новой точке необходимо определять значение выходной переменной y.Так как в общем случае проведение экспериментов связано с определёнными расходами, то при выборе очередной точки целесообразно использовать информацию о поведении функции отклика на предыдущих шагах.При этом возможны две ситуации:

1. Интервал поиска оптимальных значений задан (ограничен).В этом случае поиск оптимального значения состоит в пошаговом сокращении интервала, на котором потенциально находится точка оптимума. Эффективность используемого для этого метода определяется числом шагов, необходимых для сокращения исходного интервала до заданной величины (с заданной точностью).

2. Интервал изменения значения переменных не задан (не ограничен). В этом случае движение вдоль направления крутого восхождения осуществляется с постоянным или переменным шагом до тех пор, пока значение выходной переменной y не начнёт уменьшаться. После этого шаг уменьшается (например в 2 раза) и из последней точки осуществляется движение в обратном направлении до тех пор, пока значение оптимизируемой переменной вновь не начнёт уменьшаться. Так производится до тех пор, пока величина шага (интервала локализации максимального значения) не сократится до заданной величины .

Задача поиска минимального значения функции отклика при движении вдоль линии крутого восхождения является,по сути,задачей оптимизации функции одной переменной,заданной в неявном виде.

Если функция унимодальна (имеет один экстремум),то для её решения в первом случае (область ограничена) эффективно использование методов дихотомии, Фибоначчи, золотого сечения и др. Вo втором случае (область не ограничена) существуют различные методы, использующие различные алгоритмы выбора шага в процессе движения как с учётом, так и без учёта предистории движения.

Следует отметить, что в общих случаях эффективность методов зависит от величины ошибки наблюдений (отношение сигнал / шум).Для снижения влияния случайности в каждой точке вблизи оптимума целесообразно проводить по несколько наблюдений, а результаты их - осреднять.