Прямая геодезическая задача формулируется следующим образом: даны координаты некоторой начальной точки А, а также направление и расстояние от точки А к точке В. Необходимо определить координаты точки В.
При этом в геодезии всегда имеется в виду, что задано направление кратчайшей линии и минимальное расстояние между точками. В навигации в аналогичной задаче, называемой счислением пути, обычно подразумеваются заданными направление локсодромии и ее длина. Кроме того, в обеих интерпретациях, в зависимости от величины заданного расстояния S0 и требуемой точности расчета координат φ1 и λ1, эта задача может решаться на эллипсоиде (с учетом сферичности Земли), на сфере или на плоскости.
При больших расстояниях между точками прямая геодезическая задача решается на эллипсоиде или сфере. В геодезии координаты пунктов и азимуты вычисляются с точностью до 0,001΄. Это возможно лишь с учетом сфероидичности Земли на основе применения численных методов интегрирования системы уравнений (2.16)÷(2.18). В судовождении, как правило, достаточная точность (до 0,1') обеспечивается использованием формул сферической тригонометрии.
Рассмотрим сферический треугольник АРВ (рис.7), образованный дугами меридианов в начальной и конечной точек, равными900-φ0 и 900-φ1, а также соединяющей длиной D0. Сферический угол при полюсе РN равен разности долгот λ1 – λ0, а угол между северной частью меридиана начальной точки и ортодромией равен А0 (иногда его обозначают П0 или ). Известными являются величины φ0, λ0, Α0 и D0.
Для определения широты φ1 можно воспользоваться теоремой косинуса стороны сферического треугольника, согласно которой
,
откуда
Долгота λ1может быть найдена как с использованием уже рассчитанной широты φ1, так и независимо от φ1. Рассмотрим независимое решение, которое выполняется с помощью теоремы котангенсов.
,
откуда .
Для расчетов на калькуляторе эта формула преобразуется так, чтобы использовались только функции синуса, косинуса и тангенса:
.
В задаче счисления пути, близкой по сути к прямой геодезической задаче, заданы координаты начальной точки φ0 и λ0, направление пути и пройденное расстояние S0. Определение координат φ1 и λ1 конечной (или текущей точки производится исходя из уравнений локсодромии на сфере где главные радиусы кривизны Ν1 и Ν для любой точки поверхности равны радиусу сферы R (см. уравнения (23) и (24)):
; (2.24)
. (2.25)
Интегрирование уравнения (2.24) не представляет затруднений, так как его правая часть является постоянной величиной
.
Если расстояние Ѕ0 выражено в морских милях, то разность широт по этой формуле получается в радианах. Для перехода к угловым минутам необходимо это значение разделить на arc1´, а так как R arc1´=1, то разность широт в минутах находят по формуле
.
Уравнение (32) содержит в правой части переменную величину φ. Интегрирование его можно выполнить по аналогии с выводом уравнения локсодромии (см. п.3.4.). В результате получается формула (2.21) с вместо А и без второго слагаемого в квадратных скобках:
(2.26)
При значениях близких к 900 или 2700 этой формулой воспользоваться нельзя, т.к. tg -¥. Но при этом величина φ практически не изменяется. Считая φ постоянным, равным φ0, получаем следующее решение уравнения (2.25)
причем sin = 1 при = 900 и sin = -1 при = 2700.
Обе последние формулы дают разность долгот в радианах. Переход к угловым минутам производится делением этих значений на arc1´=1/3437,75, поэтому для практического использования эти формулы записываются в виде:
(2.27)
при |K0-90|≥1º и |K0-270|≥1º;
λ1 – λ0 = S0 / cosφ0 при |K0-90|<1º;
λ1 – λ0 = - S0 / cosφ0 при |K0-270|<1º;
При малых расстояниях между начальной и конечной точками локсодромия и ортодромия практически сливаются в одну линию и рассмотренная задача в навигации обычно решается графически путем построения на карте.
Обратная геодезическая задача формулируется так: даны координаты точек А(φ0, λ0) и В(φ1, λ1); определить направление и расстоянию от А к точке В.
В большинстве случаев кратчайшее расстояние между двумя точками на поверхности Земли и направление кратчайшей линии можно рассчитать с достаточной для целей навигации точностью по формулам сферической тригонометрии. В сферическом треугольнике АРΝВ (см. рис.7) при этом известны дуги меридианов, равные 90º - φ0 и 90º - φ1, а также угол между ними, λ1 – λ0.
Ортодромическое расстояние D0 находится по формуле косинуса стороны с учетом тождеств cos(90 - φ0) =sinφ0, sin(90 – φ0) = cosφ0 и т.п.:
cosD0=sinφ0 sinφ1 + cosφ0 cosφ1 cos(λ1 – λ0). (2.28)
Если требуется повышенная точность определения кратчайшего расстояния между точками, то следует исправить величину D0 поправкой за сфероидичность Земли, которую можно рассчитать по формуле Андуайе-Ламберта
, (2.29)
где ; .
В приведенной формуле величина D0, не являющаяся аргументом тригонометрических функций, должна быть выражена в радианах. Величина ΔD получается в таких же единицах длины, в каких задана большая полуось земного сфероида. Если - в метрах, то для представления ΔD в милях необходимо разделить результат на 1852.
Исправляемое расстояние D0 относится к сфере с радиусом, равным . Поэтому расстояние D0 (в милях) определяется как произведение угла D0 (в радианах) на (в милях). Длина геодезической линии DГ = D0 + ΔD.
Направление кратчайшей линии от точки А к точке В в навигационных задачах можно всегда считать совпадающим с направлением ортодромии и находить по формуле котангенсов
,
откуда .
Для вычислений на калькуляторе эту формулу целесообразно представить в виде
.
В навигации существует задача расчета плавания по локсодромии, в которой по координатам двух точек требуется определить курс и протяженность пути S0 из одной точки в другую. Такая задача с достаточной точностью решается на основе полученных ранее уравнений локсодромии на сфере (см. формулы (2.27)¸(2.29)).
Для нахождения локсодромического курса К0 из точки А(j0, l0) в точку В(j1, l1) рассчитывается величина
, (2.30)
где разность долгот l1 - l0 выражается в угловых минутах.
Величина находится в пределах от –90 до 900. Переход от к углу курса производится исходя из соотношения широт и долгот начальной и конечной точек:
= при j1 > φ0; λ1 > 0;
= +1800 при j1 < φ0;
= +3600 при j1 > φ0; l1 < l0.
Если локсодромия пересекает меридиан, соответствующий λ = 1800, то во всех приведенных соотношениях нужно увеличить западную долготу на 3600. Например, если движется в западном направлении и λ0 = -1700, то нужно считать λ0 = 1900; если судно движется в восточном направлении иλ1 = -1600, то нужно принимать λ1 = 2000.
При j0 = φ1 расчет по формуле (2.30) приводит к неопределенности, т.к. аргумент арктангенса стремится к бесконечности. В таких случаях локсодромический курс с точностью до 0,50 принимается равным 900 при движении судна на восток (l1 > l0) и = 2700 при движении на запад (l1 < l0).
Локсодромическое расстояние S0 можно найти из уравнения (33) по известной разности широт j1 - φ0 и рассчитанному курсу :
.
Здесь j1 - φ0 - в угловых минутах, а S0 – в милях.
При близких к 90 или 2700 |cos | → 0 и при расчетах по формуле (35) и (36), вычислять S0 по формуле
.
На основании сравнения локсодромического и ортодромического расстояния между заданными точками делается вывод о целесообразности плавания по ортодромии и выбирается более рациональный путь судна.
Вопросы для самопроверки
1. Какое значение для судовождения имеет форма и размеры земли?
2. Что такое референц-эллипсоиды и какие они бывают?
3. Какие широты точки на Земле используют в картографии?
4. Какие радиусы кривизны и длины дуг используют в судовождении?
5. Что такое геодезическая линия и какие методы её расчетов возможны?
6. Что такое локсодромия и её аналитическое описание?
7. Что такое ортодромия и соответствующие ей уравнения?