Одной переменной

Основные теоретические сведения.

1. Производной функции по аргументу x называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Производная функции обозначается через .

По определению: .

Операция отыскания производной заданной функции называется дифференцированием этой функции. По определению можно получить следующую таблицу формул дифференцирования элементарных функций:

1. , где ; 8) ;

2. ; 9) ;

3. ; 10) ;

4. ; 11) ;

5. 12) ;

6. ; 13) ;

7. 14) ;

15) .

Кроме того существуют следующие правила дифференцирования. Пусть С постоянная, u = u (x), v = v (x) функции, имеющие производные. Тогда:

Рассмотренных формул и правил определения производных недостаточно для нахождения производных функций более сложного вида, например, таких как и т.д.

Пусть y –есть функция от u: , где u –в свою очередь функция от аргумента x: ; в таком случае говорят, что y есть функция от функции, т.е. .

Если для соответствующих друг другу значений x и u существуют производные и то существует и производная от y по x, причем имеет место равенство

. (1)

2. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

Пусть функция аргумента x задана при помощи параметрических соотношений причем и дифференцируемые функции от t и , . Тогда

. (2)

3. Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций (неопределенность 0/0 или ) равен пределу отношения их производных:

(3)

если предел справа существует.