2015-01-21
867
Основные теоретические сведения.
1. Выражение вида z=x+yi= 
называется комплексным числом (в алгебраической и тригонометрической форме соответственно). Здесь 
мнимая единица, x =Re z действительная часть, а y =Im z –мнимая часть комплексного числа z; 
и 
модуль и аргумент числа z:
. (1)
Комплексные числа изображаются точками на комплексной плоскости (рис.7).
рис.7
2. Арифметические действия над комплексными числами.
Два комплексных числа 
и 
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. 
, если 
, 
.
Сложение (вычитание) комплексных чисел:
(2)
Умножение комплексных чисел:
(3)
В частности,
, т.е. мнимая единица есть число, квадрат которого равен 
.
Деление двух комплексных чисел
(4)
3. Извлечение корня n-й степени (n–натуральное число) из числа z= (z 
)производится по формуле
(5)
где 
арифметический корень из модуля z, a k =0,1, …, n 
1.
Пример 1. Найти полярные координаты точки М (
; ) (рис.8).
|
|
рис. 8
Решение. Используя формулы (1), находим полярный радиус и полярный угол точки М: 
, 
, т.к. точка М лежит в IV четверти.
Пример 2. Даны комплексные числа 
Найти 
, 
, 
.
Решение. 
(учли, что 
).
Умножая числитель и знаменатель на сопряженное делителю комплексное число 
, получим
Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости числа:1) 
,
2) 
=2 
Записать число z1 в тригонометрической, а число z 2 в алгебраической форме.
Решение. 1) Для числа z 1 имеем x 1=Re z 1= 
, y 1=Im z 1=0. Откладывая по оси Оx x 1= , а по оси Оy 
=0, получаем точку комплексной плоскости, соответствующую числу z 1 (рис.9).
Рис.9
Модуль этого числа находим по формуле (1): 
. Аргумент определяем из равенства 
. Так как число z1 находится в левой полуплоскости, то его аргумент 
.
Тригонометрическая форма числа z 1 имеет вид z 1=8 
.
2) Модуль числа z 2 равен 
, а аргумент 
. Для его изображения на комплексной плоскости проводим из полюса луч под углом к полярной оси и откладываем на нем отрезок длиной =2. Полученная точка соответствует числу z 2 (рис.9). Его действительная часть 
а мнимая часть 
. Таким образом, алгебраическая форма числа z2 имеет вид: 
Пример 4. Вычислить 
.
Решение. 
Модуль числа равен 8, а аргумент равен 
. Используя формулу (2), получаем
При k =0:
При k =1:
.
При k =2:
