Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе система (1) приводится к одной из следующих систем:

· (2)

где , .

· (3)

где .

· (4)

где .

На втором этапе:

· система (2) имеет единственное решение, значение находится из последнего уравнения, значение — из предпоследнего,…,значение — из первого;

· система (3) имеет бесконечное множество решений;

· система (4) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению.

Метод Гаусса. применим к любой (!) системе линейных уравнений.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере.

Пример 2.4. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.1; и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Имеем систему вида (2). Из второго уравнения . Подставляя это значение в первое уравнение, получим: .

Ответ:

Пример 2.5. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.3, и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (2). Из третьего уравнения .

Подставляя это значение во второе уравнение, получим: .

Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим: .

Ответ:

Пример 2.6. Исследуйте систему линейных уравнений, и если она совместна, то найдите её решение:

I. Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (***) (см. §1), система совместна и неопределённа, т.е. имеет бесконечно много решений.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (3). Выразим из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение:

.

Следовательно, исходная система имеет решение где , могут принимать любые действительные значения.

Ответ:

Продукт	Сырье
I	II
		1,5
Запасы

Пример 2.7. Цех выпускает два вида продукции и , полностью используя для их производства сырье вида I и вида II. В таблице указано число единиц сырья I и II, необходимых для производства одной единицы продукции и , а также имеющиеся запасы сырья.

Может ли цех удовлетворить заказ трёх торговых организаций:

Продукт	Заказ I организации	Заказ II организации	Заказ III организации

Пусть и — количество единиц продукции и соответственно, которое может выпустить цех при данных условиях производства. Тогда данные первой таблицы можно представить системой уравнений:

Решим её методом Гаусса.

~

Т.е. цех произведёт 10 единиц продукта , 15 единиц — продукта .

Выясним, сможет ли цех выполнить заказ.

Для выполнения заказа нужно единиц продукта и единиц продукта . Следовательно, цех может выполнить заказ.